Sistemas de numeração

Um número é um conceito matemático, usado para contar, ordenar e medir. Os algarismos são símbolos que representam números. O sistema numérico inclui algarismos, operadores aritméticos, etc. Os algarismos podem ser classificados de acordo com a notação posicional, que inclui o sistema binário, sistema decimal e até o sistema sexagesimal. Se classificados pela forma de escrita, há algarismos arábicos, chineses, romanos, etc.

Sistema Numérico Indo-Arábico
A base dos algarismos árabes modernos é 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Sem eles ,não se poderiam efectuar cálculos. A sua origem remonta à antiga Índia, tendo posteriormente sido difundidos no mundo árabe. No início, eram apenas 9 e o "0" era representado por um espaço vazio. Embora o "0" já fosse amplamente utilizado na Índia cerca de 650 d.C., só apareceu pela primeira vez em registos escritos quando o manuscrito Bakshali foi concluído. Os simples e fáceis algarismos indo-arábes tornaram-se populares no Oriente Médio e na Europa depois do matemático persa, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, os ter apresentado em Livro da Restauração e do Balanceamento, e do matemático italiano Leonardo Fibonacci ter apresentado os algarismos árabes e o sistema decimal aos europeus, no seu livro Liber Abaci. Até à era moderna, todos os países islâmicos de língua árabe ainda usam, simultaneamente, algarismos indo-arábicos e arábicos.

Sistema Numérico Chinês
A numeração chinesa tem o Xiaoxie e Daxie. Tanto os números árabes como os Daxie são comummente usados em cheques. Os Huama, ou Números Suzhou, foram usados em estenografia e desenvolvidos a partir de varetas de cálculo. Estes podem ser escritos verticalmente, horizontalmente ou em ambos os sentidos. No passado, os Huama eram obrigatórios nas aulas de ábaco. Hoje em dia, são usados principalmente nos mercados, joalharias e herbanárias chinesas. Da Dinastia Shang até à actualidade, as dez hastes celestes e os doze ramos terrestres que marcam o ano, mês, dia e hora do calendário lunar seguem uma ordem sequencial. Devem ser combinados na ordem correcta para formar 60 grupos de termos, para uso recorrente.

Sistema Numérico Romano
A numeração romana era comummente usada na Europa antes dos algarismos árabes se tornarem populares. A numeração romana tem apenas sete símbolos, que são I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) e M (1000). Para indicar outros valores numéricos, alguns destes símbolos têm de ser adicionados ao lado direito e/ou deduzidos no lado esquerdo de um número específico, podendo ser consecutivamente adicionados ou deduzidos, num máximo de três vezes. Exemplos: III (3), IV (4), VII (7), XL (40), XCIX (99). Os números romanos não têm "0", portanto não estão relacionados a nenhuma notação posicional. Hoje em dia, a numeração romana é utilizada apenas para indicar a data de conclusão de edifícios públicos, as horas em relógios, em calendários e no ano de produção de certos programas de TV.


Sabia que?

1) O astrónomo Aryabhata deu um extraordinário contributo para a transformação dos antigos números Indianos? Ele usou grades para contar. Por exemplo, se o ponto na primeira célula da grade representa 1, o ponto na segunda representará 10 e assim por diante. Desta forma, não só o número como também a sua posição tem um significado específico.

2) O povo Maia contribui significativamente para o avanço da matemática, astronomia e calendário. Os Maias usavam um sistema numérico vigesimal. O "0" era representado por um pictograma com a forma de concha, enquanto os números de 1 a 9 eram representados pela respectiva quantidade de pontos e traços dispostos horizontalmente.

3) Operadores aritméticos: A adição (+) e a subtracção (-) foram definidas pelo matemático alemão Johannes Widmann. A multiplicação (x) foi definida pelo matemático britânico William Oughtred. A divisão (÷) foi definida pelo matemático suíço Johann Rahn, em seu livro Teutsche Álgebra. O matemático francês René Descartes foi o primeiro a usar o radical (√) para representar a raiz quadrada, no seu livro La Géometrie. O sinal de igualdade (=) foi amplamente utilizado desde que Gottfried Wilhelm Leibniz o introduziu. Os sinais maior (>) e menor do que (<) foram criados pelo matemático britânico Thomas Harriot. (≥), (≤) e (≠) foram utilizados numa fase posterior. As chaves ({ }), os colchetes ou parênteses rectos ([ ]) e curvos (( )) foram criados por Christopher Clavius.

Proporção Divina e o Homem de Vitrúvio

Em 1496, o frade franciscano Luca Pacioli começou a ensinar na Corte de Milão, sob domínio de Ludovico Sforza. Com ele, Leonardo da Vinci aprendeu geometria e adquiriu a capacidade de apreciar arte. Em 1509, no seu livro Proporção Divina, publicado em Veneza, Pacioli faz o elogio da proporção dourada como a maior expressão da manifestação de Deus. Dada esta descrição, a proporção dourada tornou-se num tema popular naquele tempo.

O "Homem de Vitrúvio" é uma famosa ilustração de Leonardo da Vinci. De acordo com sua observação do corpo humano e estudo do trabalho do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, Leonardo da Vinci desenhou um corpo humano com proporções perfeitas, usando o conceito de proporção dourada.

Um palmo é o comprimento de quatro dedos.
Um pé é o comprimento de quatro palmos.
Um côvado (comprimento do antebraço) mede seis palmos.
Quatro côvados (24 palmos) é a altura de um homem.
Um passo são quatro côvados.
O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura.
A distância da linha do cabelo na testa à ponta do queixo é um décimo da altura de um homem.
A distância da ponta do queixo ao topo da cabeça é um oitavo da altura de um homem.
A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem.
A distância do cotovelo à ponta da mão é um quinto da altura de um homem.
A distância do cotovelo à axila é um oitavo da altura de um homem.
O comprimento da mão é um décimo da altura de um homem.
A distância entre o queixo e o nariz é um terço do comprimento do rosto.
A distância das sobrancelhas à linha do cabelo na testa é um terço do comprimento do rosto.
O comprimento de uma orelha é um terço do da face.

Sugestão de atividade
Dois quadros extensíveis demonstram as proporções do corpo humano. Tente medir essas partes do seu corpo e verifique se estão em proporção perfeita.

Você sabia?
O crescimento e o aparecimento de inúmeros tipos de animais e plantas encontrados na natureza estão intimamente relacionados com a proporção dourada. No entanto, isso não é apenas uma coincidência. Na verdade, eles são o resultado da sobrevivência dos mais aptos após biliões de anos de evolução.

A probabilidade é a medida da possibilidade de ocorrência de um evento aleatório

A probabilidade é quantificada como um número entre 0 e 1, onde 1 indica certeza. Quanto maior a probabilidade de um evento, mais certo é o evento ocorrer.

Teoria Matemática da Probabilidade
Ao lançar uma moeda, a probabilidade de sair "cara" é igual à de sair "coroa", i.e., 1/2 oportunidade. A isto chama-se Probabilidade Teórica ou Probabilidade a Priori, porque resulta unicamente de um raciocínio dedutivo. Se uma moeda é lançada 100 vezes e sai "cara" 52 vezes, a probabilidade é de 0,52. Este tipo de probabilidade, que quantifica a ocorrência de um evento com base na evidência empírica dada pela experiência, chama-se Probabilidade Empírica ou Probabilidade a Posteriori.

Probabilidade e Jogo de Dados
Em 1651, De Mere, um jogador inveterado, encontrou-se com o matemático Blaise Pascal enquanto ambos viajavam. Enquanto falava sobre jogo, o primeiro questionou o matemático sobre distribuição de apostas. Blaise Pascal trocou as suas ideias com outro matemático, Pierre de Fermat. Ao fazer experiências de jogo, ambos analisaram os problemas encontrados e finalmente resolveram o problema da distribuição de apostas. "The Value of All Chances in Games of Fortune" (De Ratiociniis in Ludo Aleae), publicado em 1657 pelo matemático holandês Christian Huygens, que realizou investigações independentes, teve grande impacto no importante conceito de Expectativa Matemática.

Probabilidade e Estatística e Pesquisa
A Lei de Grandes Números afirma que a média dos resultados será mais próxima do valor esperado à medida que mais experiências são realizadas. Por outras palavras, quanto maior o número de ensaios, mais próxima a probabilidade empírica da probabilidade a priori. Um exemplo é a taxa de mortalidade. Não temos maneira de obter a probabilidade de morte de uma determinada faixa etária num determinado ano. Só podemos calcular o resultado do número total de mortes entre todas as faixas etárias nesse ano. Assim, o prémio do seguro de vida é analisado com base na probabilidade empírica. O valor do prémio é calculado com base na taxa de mortalidade de diferentes faixas etárias. Além disso, o governo, antes de elaborar políticas relativas a futuras mudanças na população e seu desenvolvimento social, deve levar em conta, pesquisar, organizar e analisar diferentes estatísticas referentes à subsistência e actividades comerciais das pessoas.

Sugestão de atividade
Experimente a probabilidade através do jogo de dados. Basta pressionar a asa do copo de dados. Registe, todas as vezes, a soma dos pontos e verifique se a probabilidade de soma de grandes e de pequenos valores é a mesma.

Sabia que?
Os primeiros dados remontam há 5000 anos, embora com a forma de hastes e pirâmides. Hoje em dia, os dados são geralmente cubos com seis faces, em que a soma dos lados opostos é sete. Outros tipos de dados em forma de vários poliedros, utilizados em jogos de tabuleiro, incluem o tetraedro, octaedro, trapezoedro pentagonal, dodecaedro e icosaedro.
Nos sorteios, independentemente do número total de participantes, algumas pessoas ganham sempre, enquanto outras pessoas nunca ganham. Além da probabilidade, que outros factores ou razões acha que podem afectar o resultado do sorteio?

Pesos e medidas refere-se à medição de objectos no nosso quotidiano, incluindo comprimento, volume e peso e, hoje em dia, também do tempo e temperatura

Unidades de Peso e Medida

No anúncio comercial da TV que referia: "6 ovos, 2 colheres de chá de açúcar, casca de laranja", o peso do açúcar é calculado com uma colher de chá! Embora o sistema métrico seja o sistema mais fácil para medir e calcular, alguns negociantes de Hong Kong e Macau continuam a usar outros sistemas de unidades a que estão acostumados, ou usam concomitantemente dois sistemas diferentes de unidades.

Na China, as unidades tradicionais para medir o comprimento são "li, zhang, chi, cun, fen". "Dan, hu, sheng, ge" são unidades para medir o volume, e "jin, liang, qian, fen" para calcular o peso. Hoje em dia, as unidades imperiais comuns ainda em uso para medir comprimento, volume e peso são, respectivamente, "milha, jarda, pé, polegada", "galão, pinto", "tonelada, libra, onça". O Sistema Internacional de Unidades é o padrão internacional usado em todo o mundo. As suas unidades básicas para medir o comprimento são o "metro, centímetro, milímetro", as de peso o "quilograma, grama, miligrama" e as de área e volume são o "metro quadrado, metro cúbico" etc. Somente as unidades para medir o tempo, "hora, minuto, segundo", não seguem o sistema decimal.

Ferramentas para Medição
A régua é a ferramenta mais simples para medir o comprimento. No entanto, além da régua e esquadro, existe ainda a régua de alfaiate para modelagem e desenho de vestuário. A balança "Cheng" que aplica a lei da alavanca é um tipo de ferramenta chinesa de medição tradicional. No entanto, foi substituída pela balança de pesos e, posteriormente, pela balança electrónica. Os instrumentos de medição de volume são mais diversificados, incluindo copos de medição utilizados em laboratórios ou outros tipos de recipientes para uso doméstico ou industrial.

Comprimento e Distância
O "Pé e polegada" do Sistema Imperial são frequentemente usados na arquitectura ou na indústria de mobiliário. As dimensões padrão de madeira de contraplacado são 3×6 e 4×8 pés. Uma cama de casal é de 4×6 pés, enquanto uma cama de solteiro é de 2,5×6 pés. A Jarda é normalmente usada para medir tecidos e fios/cabos. A sua aplicação mais conhecida é na conversão de penalidades nos jogos de futebol. Na maratona dos Jogos Olímpicos de Londres de 1908, a distância total desde o ponto de partida, no Castelo de Windsor, até à meta, em White City, foi de 26 milhas e 385 jardas, ou seja 42.195km. Tal tornou-se o comprimento padrão da maratona. De acordo com a Convenção das Nações Unidas sobre o Direito do Mar, a milha náutica (=1852.4m) do Sistema Imperial é usada para medir a distância das águas territoriais de um país ou zonas económicas exclusivas.

Peso e Quantidade
Nos mercados, supermercados ou lojas de ervas medicinais chinesas de Macau, os preços de alimentos não embalados, como arroz, legumes e carne, são calculados com base no quilograma do Sistema Internacional de Unidades, na libra do Sistema Imperial e no cate, unidade chinesa tradicional para a cálculo de peso. Um fenómeno interessante dos dias de hoje é que o preço da fruta depende da quantidade. Para o ouro, embora as joalharias usem a onça ou qian como unidades de peso para calcular o preço de seus produtos, a Onça Troy é usada como a unidade de transacção para ouro e metais preciosos, quando se trata dos preços internacionais do ouro (1 liang = 37,429 gramas = 1,20337 = 1.20337 onça de troy). Para a electricidade, embora o watt seja usado como a unidade de potência, a dos aparelhos de ar condicionado é calculada com base na unidade de potência cavalo-vapor (1cv = 745.69987158227022W).

Área e volume
A área de um território é geralmente medida em metros quadrados, mas o pé quadrado ou ping, como é usado em Taiwan, é comummente utilizado nas transacções imobiliárias (1m2 = 10,7584 ft2 = 0,3025 ping). Embora o galão para o volume apareça normalmente nos rótulos da água engarrafada, as companhias de água usam o metro cúbico como unidade para o fornecimento de água. Na China antiga, dou refere-se a um recipiente para a reserva de água e também uma unidade para medir o volume, sendo 1 dou é igual a 10 sheng. Também pode ser usado para medir arroz, óleo e vinho.

Sabia que?
Os antigos egípcios consideravem o cúbito a unidade de medida mais conveniente. Um cúbito é a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio. Pode ser dividido em sete partes, cada uma da largura de um palmo, ou em 28 cada partes, cada uma com um dedo de largura. O cúbito foi usado como a unidade de comprimento padrão para medir a área territorial do Egipto e até mesmo para construir com precisão as pirâmides.
Os britânicos pensam que a forma mais prática de medição é usar o nosso corpo. Uma jarda é a distância da ponta do nariz do rei Henry até à ponta do seu indicador. Um pé é o comprimento do pé de um adulto. Uma polegada é o comprimento de uma falange do polegar.

Sequência e série

Uma sequência é um conjunto de números ordenados de um modo especial. Numa Sequência Aritmética, a diferença entre um termo e o próximo é uma constante, chamada Diferença Comum. Se houver três números (a, b e c) numa sequência aritmética, b é a Média Aritmética da sequência. Na Sequência Geométrica, a mesma proporção entre cada termo é igual, chama-se a Relação Comum. Se uma sequência consistir em a, b e c, b é a Média Geométrica da sequência.

A soma dos números de uma sequência (a1 + a2 + ... .. + an) é chamada Série. Portanto, quando a1 + a2 + ... .. + an é uma sequência aritmética, a série é conhecida como Série Aritmética. Da mesma forma, se a sequência é uma sequência geométrica, a série é chamada Série Geométrica.

Séries no Tabuleiro de Xadrez
Diz-se que há muito tempo, um rei, jogando xadrez com um dos seus ministros, perguntou-lhe que tipo de recompensa queria. O ministro respondeu: "Eu só quero um grão de arroz no primeiro quadrado, dois grãos no segundo, quatro grãos no terceiro, oito grãos no quarto e assim por diante, até que todos os quadrados no tabuleiro de xadrez estejam preenchidos com grãos". O rei aceitou o pedido de imediato pois pensou tratar-se de algo fácil de concretizar.

Vamos calcular quantos grãos de arroz o rei teve de dar ao ministro!

1 grão no primeiro quadrado equivale a 20= 1; 2 grãos no segundo quadrado equivalem a 21 = 2; 4 grãos no terceiro quadrado equivalem a 22 = 4. Assim, o quadrado 64 equivale a 263 grãos, que é igual a:

Desta história, pode-se ver que o aumento nos valores das séries geométricas pode ser extraordinário porque a proporção de cada termo sucessivo é uma constante.

De acordo com o peso normal do arroz, 600 grãos pesam cerca de 50g. Por outras palavras, o rei teria de dar cerca de 15.372 toneladas de arroz ao ministro. Se uma pessoa fosse capaz de contar dois grãos por segundo, terminaria de contar essa quantidade de arroz em 292.500.000.000 anos, mesmo a trabalhar dia e noite sem dormir. Segundo as estatísticas, a população mundial em 2016 ultrapassava já os 7.300 biliões. Se todas as pessoas do mundo contassem os grãos sem pausa, nem para dormir, levariam cerca de 40 anos para terminar de contar essa quantidade de arroz!

Sabia que?
O Xadrez é um jogo de estratégia com dois jogadores usando um tabuleiro de xadrez. Este jogo surgiu pela primeira vez na Índia e até finais do século XV as regras do xadrez moderno ficaram estabelecidas. A Federação Mundial de Xadrez (FIDE) foi criada em 1924. É responsável por organizar as competições internacionais de xadrez, calcular as classificações Elo dos concorrentes, atribuindo aos diversos jogadores, masculinos e femininos, os títulos de Mestre , Mestre Internacional, Grande Mestre da FIDE.
Juros compostos são a adição de juros à soma principal de um empréstimo ou depósito. Quanto maior a taxa de juros e menor o período, maior o retorno.

A simetria é uma característica das figuras geométricas

Os lados esquerdo e direito de um objecto são simétricos se observarmos imagens espelhadas de cada um. Uma figura plana tem simetria reflexiva se ambos os lados esquerdo e direito da sua linha central (eixo) coincidem quando dobrados. Pode haver um ou mais eixos. Uma figura tem simetria radial se aparecer inalterada após girar 180° sob seu ponto central.

Simetria na Natureza
A simetria aparece frequentemente na natureza. É como a proporção, equilíbrio e coordenação entre as diferentes partes de um sistema. São disso exemplo os tigres, alforrecas, abelhas, borboletas, etc. A simetria facilita o equilíbrio coordenação física sob o comando dos seus sistemas nervosos centrais. No entanto, equinodermos, como a estrela-do-mar tem simetria radial. No mundo botânico, a simetria rotacional aparece frequentemente em folhas, hastes e pétalas de flores, como plantas suculentas, rosas, etc. Um exemplo típico de simetria com múltiplos eixos encontrados na natureza é o floco de neve hexagonal.

Assimetria em Simetria
O corpo e a aparência dos animais, incluindo os seres humanos, são simétricos, embora seus órgãos internos permaneçam assimétricos. No corpo humano, em geral, o coração encontra-se no lado esquerdo, o fígado no direito e o estômago também no esquerdo. Os biólogos descobriram que o embrião cresce simetricamente até cerca de 6 semanas, quando a assimetria esquerda-direita começa a aparecer, uma vez que o fluxo de fluido movido pelos numerosos cílios giratórios no nó determina o desenvolvimento normal do eixo esquerdo-direito.

Simetria Artificial
A simetria é um conceito formado durante o processo de observação e compreensão da natureza pelos seres humanos, e gradualmente forma princípios estéticos gerais. Na vida real, no que respeita à aparência externa, geralmente quanto maior a simetria, mais atraente se considera. Exemplares da arquitectura chinesa e estrangeira, como o Taj Mahal, o Arco do Triunfo, o Templo do Céu, etc., fizeram uso de eixos simétricos nos projectos arquitectónicos para parecerem mais elegantes e grandiosos. Diferentes tipos de utensílios tradicionais, artefactos e até mesmo objectos decorativos em casas modernas fazem abundante uso da simetria para exprimir os seus conceitos de estética.

Sugestão de atividade
Encontre a outra metade de si próprio! Sente-se correctamente e ajuste seu assento. Olhe para a câmara acima do espelho e veja se o lado esquerdo e direito do seu rosto são simétricos.

Sabia que?
O físico de partículas japonês Hitoshi Murayama, no seu complemento ao Modelo Padrão, propôs em 1996, pela primeira vez, a super simetria. É um tipo de simetria entre fermiões e bosões. No entanto, ainda não foi encontrado ou observado na natureza.

Benoit Mandelbrot, matemático polaco, criou o termo Fractal para descrever uma pedra quebrada - fragmentada e irregular

As características principais de um fractal são a auto-similaridade da sua estrutura e resolução indefinida. Por outras palavras, um objecto é idêntico a uma parte de si mesmo. Por exemplo, o litoral parece irregular à distância. No entanto, se for observado de mais perto, parte dele é semelhante à sua forma no todo. Resolução indefinida significa que quando observando objectos em pequena escala, pode ser observada a sua estrutura única e detalhada.

A Geometria de Fractal é a geometria que estuda formas geométricas irregulares. É usada para descrever, formular e analisar formas complexas, formas não uniformes e arestas encontradas na natureza. Por isso, é também conhecida como geometria da natureza.

Se tiver dificuldade em compreender os fractais, pode olhar para o ecrã com atenção e obter, com maior clareza, informação sobre o assunto através da "Árvore Fractal" e do "Floco de Neve Koch"

1) De acordo com as investigações de Benoit Mandelbrot e de Michael Frame, a construção de uma Árvore Fractal Binária é definida recursivamente por ramificação binária simétrica. O tronco é dividido em dois ramos, cada um tendo o mesmo ângulo com a direcção do tronco. Cada ramo seguinte divide-se pela mesma regra. Continuando este processo quantas vezes quisermos, a árvore é o conjunto dos ramos juntamente com seus pontos terminais.

2) A Curva de Koch introduzida pelo matemático sueco Helge von Koch é um tipo de curva fractal. É também chamada Curva Floco de Neve devido à sua aparência. Pode ser construída dividindo, em primeiro lugar, cada lado de um triângulo equilátero em três segmentos de igual comprimento. Em seguida, remove-se o segmento de linha no meio e substitui-se por um triângulo equilátero apontando para fora, mas sem base. Ficamos com um hexagrama. Repete-se o mesmo procedimento para cada lado da figura. Após cada repetição, o comprimento de seu perímetro aumentará em um terço. Assim, a curva de floco de neve tem auto-similaridade e comprimento infinito, mas a área é ainda limitada.