Feliz dia das mães

 

As crianças aprenderam a criar um cartão comemorativo de dia das mães. 

 

À mão:

Dobre um papel e criar um cartão: É possível dobrar uma folha de papel em forma de cartão e decorar com desenhos e mensagens. 

Utilize recursos do dia a dia: Pode usar materiais como canetas, lápis, tintas, adesivos, e fotos para personalizar seu cartão. 

Crie um cartão interativo: É possível criar um cartão com um desenho que se movimenta ou que revela uma mensagem especial. 

Dicas para criar um cartão especial:

Mensagem personalizada:

Adicione uma mensagem carinhosa que reflita o seu amor e gratidão pela sua mãe. 

Fotos:

Utilize fotos de momentos especiais com a sua mãe para tornar o cartão ainda mais pessoal. 

Decorações:

Adicione elementos decorativos que combinem com o tema do cartão, como flores, corações, ou outros símbolos de amor. 

Cores:

Escolha cores que combinem com o estilo do cartão e que transmitam a mensagem que deseja. 

Ao criar um cartão para o Dia das Mães, lembre-se de que o mais importante é expressar o seu amor e gratidão pela sua mãe. Seja criativo e personalize o cartão para que ele seja único e especial para ela. 

A Espiral de Arquímedes

Esta curva foi descoberta pelo matemático e astrónomo grego Conon, nascido, cerca de 280 a.C. na mesma ilha de Samos onde nascera Pitágoras trezentos anos antes. Arquimedes (287, 212 a.C.; filho do astrónomo Fídias) viveu e morreu em Siracusa, Sícilia – então parte da Grécia – mas estudou em Alexandria.

Nesta cidade foi contemporâneo e amigo de Conon, por quem tinha muita consideração como matemático. Comunicoulhe alguns resultados – sem demonstração – sobre a espiral e escreveu, no início do tratado Sobre as Espirais, que Conon tinha morrido antes de ter tido tempo suficiente para estudálos, senão tê-los-ia certamente descoberto e demonstrado. No referido tratado, Arquimedes descreve a curva espiral nos seguintes termos:

Se uma semi-reta traçada num plano roda, em torno da sua origem, num movimento uniforme, voltando à posição de que partiu e se, ao mesmo tempo que a semi-recta roda, um ponto sobre a semi-recta se afasta dessa origem com velocidade constante, esse ponto descreverá uma espiral no plano.

Ao longo dos tempos, a noção de espiral foi adquirindo contornos mais amplos, nomeadamente ao admitir outras relações matemáticas entre os dois movimentos, que na espiral de Arquimedes são ambos de velocidade constante.

TRAÇADO DA ESPIRAL

Começamos por construir a semi-reta 01 e será sobre essa semi-reta que construiremos o parâmetro t. Tenha o cuidado de, nas preferências do GSP, escolher como unidade de medida dos ângulos o radiano. Certifique-se além disso, no menu Graph:Grid Form, que está na versão Square Grid (embora a grid esteja escondida).

Vejamos então os passos que temos a dar para, no GSP, traçar a espiral (figura 1):

(1) – medimos o valor de t: menu measure, comando abcissa(x); obtemos= 2.23 (no caso da figura);

(2) – na calculadora do programa, multiplicamos rt por 1 radiano: menu Number:Calculate; obtemos t = (xt.1 radians) = 2.23 radians (no caso da figura);

(3) – arrastando t na semi-recta s, vemos os valores xt e t a variar;

(4) – seleccionar a semi-recta s e efectuar uma rotação de t radianos em torno de 0, obtendo s´;

(5) – construa P, imagem da rotação de t, de centro em 0 e ângulo t radianos; naturalmente, P pertence a s´;

(6) – arraste t sobre s, e observe o movimento de P;

(7) –note que desta forma construiu um ponto P que está sobre a semi-recta inicial s rodada de 2.23 radianos e simultaneamente se afasta em velocidade uniforme da origem, estando agora a uma distância de 2.23; ou seja, o lugar geométrico traçado por P, quando t descreve a semi-recta 01, é uma espiral de

Arquimedes!

(8) – para traçar concretamente a espiral, basta seleccionar t e P e utilizar o comando Construct:Locus.

Nota: As semi-rectas s e s´ não são essenciais na construção, servem apenas como referência à definição de Arquimedes.

VARIAÇÕES DA FORMA DA ESPIRAL

Primeira variante. Note-se que na espiral da figura 1 os pontos t e P afastam-se da origem 0 à mesma velocidade... Mas, na definição de espiral de Arquimedes, exige-se apenas que os movimentos sejam uniformes, ou seja, a velocidade constante, mas não necessariamente iguais. Para ver que formas tomam as espirais em que as velocidades não sejam iguais, consideremos as constantes positivas b e c, em que b<1 e c>1. Vamos construir duas espirais, a esp.b e a esp.c, em que o ponto Pb é resultado da rotação de t radianos do ponto b.t (ou seja, a sua velocidade de afastamento de 0 é menor do que a de t) e o ponto Pc é resultado da rotação de t radianos do ponto c.t ( portanto, a velocidade de afastamento de Pc é maior do que a de t). A figura 2 mostra as formas que tomam as espirais resultantes dos movimentos de Pb e de Pc , respectivamente

Segunda variante. Na definição de Arquimedes também não se exige que o ponto P inicie o seu movimento no ponto 0, como o ponto t. Se marcarmos um ponto a sobre a reta s (como na figura 3) e depois, efectuarmos a rotação (de ângulo t radianos) do ponto a+t (em vez do ponto t, como no caso
inicial), obtendo o ponto Pa , podemos traçar a espiral esp.a, “paralela”, por assim dizer, à primeira espiral, mas partindo do ponto a.

A TRISECÇÃO DO ÂNGULO COM A ESPIRAL DE ARQUIMEDES

Enquanto a divisão de um ângulo em dois ângulos iguais tem uma resolução simples com compasso e régua não graduada, a trisecção é um problema impossível se apenas podemos utilizar estes dois instrumentos. Os matemáticos gregos já tinham essa convicção – embora a demonstração apenas tivesse sifo feita no séc. XIX... – e portanto procuraram outros meios de resolver esse problema, que juntamente com a quadratura do círculo e a duplicação do cubo constituem os célebres três problemas clássicos da geometria grega.

Arquimedes demonstrou, no tratado Sobre as Espirais, como a sua espiral podia resolver o problema. Na sua tese de mestrado, J. M. Rodrigues de Sousa mostra em detalhe essa solução. Vejamos em que termos faz Arquimedes essa demonstração. Seja A0B o ângulo a trissectar (figura 4) e seja a curva traçada pelo ponto P uma espiral de Arquimedes qualquer, apenas se exige que o ponto de partida seja o ponto 0. Consideremos o ponto de intersecção C da semi-recta 0B com a espiral.

Seja D um ponto sobre 0B tal que o segmento 0D tenha por medida 1/3 da medida de 0C – o ponto D é constructível com
régua e compasso, como o leitor pode confirmar (partindo da proposição 2, livro VI, de Euclides). Seja E o ponto de intersecção da circunferência de centro 0 e raio 0D com a espiral. Como a espiral é de Arquimedes, o movimento da semirecta em torno de 0 (desde 0A até 0B), tal como o do ponto P, sobre ela (desde 0 até C), que a vai traçar, são uniformes.

Ou seja, quando o ponto P percorreu 1/3 da distância 0C, e está portanto sobre E, a semi-recta 0A está sobre 0E e percorreu um terço do ângulo AOB. Portanto, ∠A0B/∠A0E = 3, como pretendíamos.

A ESPIRAL E OS CARRINHOS DE LINHAS

A minha mãe (tal como as trisavós dos meus leitores...) usava uma máquina de costura na qual a espiral de Arquimedes servia para os carrinhos de linhas serem bem comportados... Se não temos cuidado ao tentar enrolar automaticamente uma linha num chamado carrinho de linhas, o resultado será que a linha não fica uniformemente distribuída em toda a largura do carrinho, tendo tendência para se acumular
nas extremidades. A espiral de Arquimedes resolve esse problema... vejamos como. A figura 5 mostra uma dessas máquinas de costura e, na figura 6, a peça que nos importa

comentar. Vamos esquematizar essa peça na figura 7. O que o fabricante pretendia era uma parte da sua máquina de costura que enrolasse fio num carrinho de linhas. Mas pretendia que a haste L alimentadora do carrinho tivesse um movimento horizontal uniforme, para que o carrinho não ficasse com mais fio em certas zonas. Bom, movimento uniforme provocado por um movimento circular (como muitos que já existiam na máquina de costura) tinha que ser com uma espiral de Arquimedes, pensou o artífice...! Vai daí, como se pode ver no esquema da figura 7, inventou uma nova haste – a haste K – que era movida para a esquerda e para a direita num movimento uniforme, já que era empurrada e puxada por uma espiral de Arquimedes e pela sua simétrica, ao rodarem em torno do ponto 0.

Reforçando: 

A espiral de Arquimedes é uma curva descrita por um ponto que se desloca com uma velocidade uniforme ao longo de uma semi-recta, a partir da origem, que roda, com uma velocidade angular uniforme, em torno da origem.

A origem da semi-recta é o pólo da espiral; a distância de um ponto da espiral ao pólo é o raio vector desse ponto. Os ângulos de rotação são os ângulos polares que se contam a partir de uma posição inicial da semi-recta, designada por eixo polar, de zero para infinito. A cada valor do ângulo polar q corresponde um valor para o raio vector r.

As espirais destinguem-se segundo a relação que liga o raio vector com o ângulo polar. No caso da espiral de Arquimedes, esta relação é expressa pela equação r = a q. Neste caso, o raio vector varia proporcionalmente ao ângulo polar.

Mais informações sobre a Espiral de Arquimedes:

A espiral de Arquímedes, uma invenção chave da antiga Grécia, resolve o problema de levantar líquidos por meio de uma espiral dentro de um tubo, girando para elevar o líquido de um nível baixo até um mais alto. Além da tradição atribuída a Arquimedes, estudos recentes sugerem que você seja utilizado na Babilônia para irrigação, e que Arquímedes pode ter aperfeiçoado seu design. Este dispositivo, impulsionado pela energia manual, animal ou mecânica, foi fundamental na história da ciência, com figuras como Galileu Galilei estudando seu funcionamento. Ainda hoje, você utiliza diversas aplicações hidráulicas e energéticas, convertendo a energia cinética gerada por sua rotação em eletricidade, destacando-se não por sua velocidade, mas também por sua capacidade de gerar uma força constante e eficaz.

A relação entre matemática e aranhas, principalmente no contexto das suas teias, é rica e fascinante

A matemática pode ser usada para entender como as aranhas constroem suas teias, como elas interagem com elas para caçar e até mesmo para analisar as vibrações geradas pelas presas que ficam presas na teia. 

Como a matemática ajuda a entender as teias de aranha: 

Modelo Matemático:

A construção da teia pode ser representada matematicamente, permitindo analisar a forma como a aranha tece a teia, a geometria das estruturas, e como a aranha percebe e interage com as vibrações na teia. 

Análise da Complexidade:

Estudos matemáticos revelam a complexidade das teias de aranha, como a aranha consegue construir estruturas complexas com fios de seda, e como a geometria da teia influencia a sua funcionalidade. 

Interação com Presas:

Através da modelagem matemática, é possível entender como a aranha utiliza as propriedades da teia para capturar e interagir com as presas que entram em contato com a teia. 

Analogias com a Músicas:

A estrutura matemática das teias de aranha revela analogias com a estrutura sonora de uma música, mostrando que tanto as teias quanto a música possuem estruturas que refletem a sua função. 

Otimização do Design:

A matemática é usada para entender como as aranhas conseguem construir teias que são eficientes para a caça e para suportar as cargas que elas suportam. 

Outras áreas da matemática e as aranhas:

Jogos Matemáticos:

Algumas atividades de matemática utilizam aranhas como tema em jogos educativos que abordam conceitos como ordem e comparação de números, como no jogo das aranhas da Ensinando Matemática. 

Problemas Matemáticos:

Problemas envolvendo a teia da aranha podem ser usados para ensinar conceitos de geometria, frações e outros temas, como o desafio da teia da aranha no site Só Matemática. 

Curiosidades Matemáticas:

A presença da aranha em alguns jogos de azar e crenças populares também demonstra a sua conexão com a matemática. 

Uma pequena investigação matemática

Uma investigação?

Em uma investigação você pode explorar uma situação nova que te é colocada.

Essa exploração será definida por você a partir de um conjunto de pistas que te serão dadas para que possas atingir um objetivo, tomar uma decisão ou encontrar respostas para uma situação que te é proposta.

Tarefa

O que sabe sobre a vida das abelhas?
Já pensou porque é que os favos de mel têm a forma de um hexágono?

Cada grupo de alunos (3 ou 4) deve investigar a forma como se organiza a vida das abelhas e explorar matematicamente a construção hexagonal dos favos de mel.

Este trabalho deve ser realizado no prazo de um mês e o produto final deve ser apresentado em cartazes ou recorrendo a uma ferramenta informática como o Power Point.

Para a sua concretização podem apoiar-se nos recursos aqui sugeridos ou procurar outros, por exemplo, na Internet ou em uma Biblioteca.

Percursos

Para poderem realizar a tarefa que é proposta devem seleccionar e pesquisar sites/endereços.

A par com uma leitura atenta devem selecionar as informações que consideram relevantes para a concretização do trabalho que é proposto.

Igualmente útil é a pesquisa de imagens que possam ser usadas para ilustrar a versão final do trabalho.

Podem registrar as informações relevantes que vão encontrando.

Para executarem a tarefa deverão ser capazes de responder às seguintes questões:

1ª Etapa - A organização social das abelhas

· Como se organizam as abelhas?

· Como comunicam as abelhas?

· Como produzem o mel e a cera?

2ª Etapa – Aspectos Matemáticos na vida das abelhas

· Que particularidades se encontram na árvore genealógica das abelhas?

· Porque é que os favos de mel têm a forma de hexágonos regulares e não de outros polígonos regulares?

Os Maias tinham calculado tudo friamente

Uma civilização que não apenas olhava para o céu… mas construía com ele!

Muito antes dos telescópios e da tecnologia moderna, os maias já dominavam a astronomia, a matemática e o planejamento urbano.

Cidades como Chichén Itzá, Tikal, Palenque e Copán não foram construídas por acaso...

Eles foram projetados com incrível precisão para se alinharem com os solstícios, equinócios e constelações.

Cada estrutura era mais que pedra…

Era ciência.

Era o cosmos.

Foi um legado.

Quando você caminha por uma cidade maia, você não vê apenas ruínas...

Você está caminhando entre as estrelas feitas de pedra.

Antigo método de contagem

É difícil imaginar como foi introduzido o conceito de "número" no mundo antigo. Com o rendimento da pesca, do cultivo, da caça e das guerras, os povos começaram gradualmente a desenhar sinais, a usar varetas para cálculo, nós e outros métodos de contagem para registar e controlar a quantidade de materiais que possuíam.

Contagem com os Dedos e por Correspondência
Ainda hoje se usam os dedos para contar. Quando os dez dedos das mãos não são suficientes, usam-se simplesmente os dez dedos dos pés. Não sendo esta a melhor solução, as pessoas começaram a usar objectos comuns, tais como pedras, galhos, conchas e similares, para contar, por exemplo, a quantidade de vacas e ovelhas. No entanto, estes métodos de contagem podem ser confusos e não ser fácil de guardar e transportar este tipo de ferramentas.

Contagem por Desenho
Inscrever sinais em madeira, pedras e ossos com o propósito de contar remonta aos tempos pré-históricos. Este método foi registado em inúmera literatura chinesa e estrangeira e alguns objectos originais foram preservados até hoje. Já em 1600 a.C. a 1100 a.C., inscrições de contagem figuravam em ossos de oráculo na China. Os Sumérios inventaram uma maneira de usar argila para guardar informações numéricas, ligando pequenos pedaços de argila de diferentes formas com cordas. Mais tarde, usaram sinais numéricos em blocos de argila, que depois de cozidos formavam placas de registo permanente de contagens. No antigo período Babilônico, as pessoas usavam estiletes para gravar símbolos cuneiformes em placas de argila e, gradualmente, desenvolveram o sistema sexagesimal.

Cálculo com Varetas e Vareta de Cálculo
A divinação era amplamente praticada na China durante a Dinastia Shang. Eram usadas varetas para contagem, sendo este o tipo de vareta de cálculo mais antigo. As varetas de cálculo eram comummente usadas durante os períodos de guerra. Os caracteres "Chou" e "Suan" têm o radical "bambu" pois a maioria das varetas era feita deste material. No entanto, havia também feitas em madeira, osso, marfim, etc. Uma das vantagens das varetas de cálculo era a sua portabilidade. As pessoas podiam facilmente utilizá-las em qualquer lugar a qualquer momento. O cálculo com vareta é o método que usa varetas para contagem. A forma de colocar as varetas assume significados diferentes. As varetas na vertical representam as unidades, centenas e as dezenas de milhar, enquanto asvaretas na horizontal representam as dezenas, milhares e as centenas de milhar. Este é um tipo de ferramenta de cálculo do sistema decimal.

Manutenção de Registos através de Nós
No Zhou Yi - Xi Ci Xia da China está registado o uso de nós para armazenamento de registos e governação. Como explica Yu Fan, do Estado de Wu, os nós grandes significam grandes eventos, enquanto os pequenos indicam eventos do quotidiano; já a quantidade de nós indica o número de eventos. Na América do Sul, os Incas também guardavam registos através do uso de nós, conhecidos como Quipus. Cada Quipus consiste num cordão principal, ao qual se ata um número indeterminado de cordas com nós, e ao qual se vão adicionando outras cordas em intervalos regulares. Como provou L. Leland Locke, historiador de ciência, em 1923, o Quipus usa um sistema decimal. A parte mais baixa de cada corda representa as unidades, enquanto a parte superior representa as dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Portanto, é uma espécie de ferramenta de cálculo feita atando nós.

Sugestão de atividade
O mensageiro Inca está segurando um Quipus. Com base em numerosas pesquisas foi possível concluir que os tipos, posições, direcções, séries, cores e espaçamento dos nós correspondem a uma determinada quantidade de objectos. Além do registo de colheitas, impostos, população e outras informações, o Quipus também era usado para registar o número anual de sacrifícios humanos.

Sabia que?
Os povos antigos geralmente transportavam as varetas de cálculo em sacos ou estojos. Durante a Dinastia Tang, os funcionários do governo eram obrigados a carregar sacos com as suas varetas de cálculo, para que as suas tomadas de decisão fossem mais científicas.

O mistério eletromagnético das pirâmides

Em 1892, o Dr. Nikola Tesla teve a ideia de fabricar uma máquina de produzir chuva que criaria condições favoráveis à vida em algumas regiões.

Embora a ideia de Tesla fosse ionizar a atmosfera através de descargas elétricas, os construtores originais das pirâmides possuíam uma tecnologia capaz de ionizar a atmosfera de uma forma menos potente, mas contínua e quase imperceptível.

Um cientista russo, Alexander Golod, construiu 17 pirâmides na estrada estatal Moscovo-Riga demonstrando a regeneração da vida com a seção dourada (ou proporção áurea) das pirâmides.

Uma pirâmide cristalina, juntamente com seus rios, cavernas e túneis subterrâneos, funciona como um gerador de íons negativos úteis, dotado da capacidade de ajustar automaticamente a intensidade.

O facto de as pirâmides do Egito estarem atualmente num ambiente desértico, sem vegetação, leva-me a concluir que não funcionam correctamente; deve ter ocorrido alguma falha no sistema.

Talvez os túneis subterrâneos tenham desmoronado; talvez alguém tenha deliberadamente fechado alguns, obstruindo assim o fluxo de íons negativos.

Talvez algumas fontes de água subterrâneas tenham secado ou uma grande inundação tenha causado um desvio de fluxos.

Em algumas tribos indígenas as cabanas de oração e enfermagem tinham forma cônica com uma espiral piramidal, porque lá era mais fácil se concentrar mentalmente e se curar rápido.

Foto: Templo De Kukulcán, Chichen Itza.