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Dilemas da Sustentabilidade frente ao consumismo

quinta-feira, 3 de julho de 2025

A Espiral de Arquímedes

Esta curva foi descoberta pelo matemático e astrónomo grego Conon, nascido, cerca de 280 a.C. na mesma ilha de Samos onde nascera Pitágoras trezentos anos antes. Arquimedes (287, 212 a.C.; filho do astrónomo Fídias) viveu e morreu em Siracusa, Sícilia – então parte da Grécia – mas estudou em Alexandria.

Nesta cidade foi contemporâneo e amigo de Conon, por quem tinha muita consideração como matemático. Comunicoulhe alguns resultados – sem demonstração – sobre a espiral e escreveu, no início do tratado Sobre as Espirais, que Conon tinha morrido antes de ter tido tempo suficiente para estudálos, senão tê-los-ia certamente descoberto e demonstrado. No referido tratado, Arquimedes descreve a curva espiral nos seguintes termos:

Se uma semi-reta traçada num plano roda, em torno da sua origem, num movimento uniforme, voltando à posição de que partiu e se, ao mesmo tempo que a semi-recta roda, um ponto sobre a semi-recta se afasta dessa origem com velocidade constante, esse ponto descreverá uma espiral no plano.

Ao longo dos tempos, a noção de espiral foi adquirindo contornos mais amplos, nomeadamente ao admitir outras relações matemáticas entre os dois movimentos, que na espiral de Arquimedes são ambos de velocidade constante.

TRAÇADO DA ESPIRAL

Começamos por construir a semi-reta 01 e será sobre essa semi-reta que construiremos o parâmetro t. Tenha o cuidado de, nas preferências do GSP, escolher como unidade de medida dos ângulos o radiano. Certifique-se além disso, no menu Graph:Grid Form, que está na versão Square Grid (embora a grid esteja escondida).
Vejamos então os passos que temos a dar para, no GSP, traçar a espiral (figura 1):


(1) – medimos o valor de t: menu measure, comando abcissa(x); obtemos= 2.23 (no caso da figura);
(2) – na calculadora do programa, multiplicamos rt por 1 radiano: menu Number:Calculate; obtemos t = (xt.1 radians) = 2.23 radians (no caso da figura);
(3) – arrastando t na semi-recta s, vemos os valores xt e t a variar;
(4) – seleccionar a semi-recta s e efectuar uma rotação de t radianos em torno de 0, obtendo s´;
(5) – construa P, imagem da rotação de t, de centro em 0 e ângulo t radianos; naturalmente, P pertence a s´;
(6) – arraste t sobre s, e observe o movimento de P;
(7) –note que desta forma construiu um ponto P que está sobre a semi-recta inicial s rodada de 2.23 radianos e simultaneamente se afasta em velocidade uniforme da origem, estando agora a uma distância de 2.23; ou seja, o lugar geométrico traçado por P, quando t descreve a semi-recta 01, é uma espiral de
Arquimedes!
(8) – para traçar concretamente a espiral, basta seleccionar t e P e utilizar o comando Construct:Locus.
Nota: As semi-rectas s e s´ não são essenciais na construção, servem apenas como referência à definição de Arquimedes.

VARIAÇÕES DA FORMA DA ESPIRAL

Primeira variante. Note-se que na espiral da figura 1 os pontos t e P afastam-se da origem 0 à mesma velocidade... Mas, na definição de espiral de Arquimedes, exige-se apenas que os movimentos sejam uniformes, ou seja, a velocidade constante, mas não necessariamente iguais. Para ver que formas tomam as espirais em que as velocidades não sejam iguais, consideremos as constantes positivas b e c, em que b<1 e c>1. Vamos construir duas espirais, a esp.b e a esp.c, em que o ponto Pb é resultado da rotação de t radianos do ponto b.t (ou seja, a sua velocidade de afastamento de 0 é menor do que a de t) e o ponto Pc é resultado da rotação de t radianos do ponto c.t ( portanto, a velocidade de afastamento de Pc é maior do que a de t). A figura 2 mostra as formas que tomam as espirais resultantes dos movimentos de Pb e de Pc , respectivamente


Segunda variante. Na definição de Arquimedes também não se exige que o ponto P inicie o seu movimento no ponto 0, como o ponto t. Se marcarmos um ponto a sobre a reta s (como na figura 3) e depois, efectuarmos a rotação (de ângulo t radianos) do ponto a+t (em vez do ponto t, como no caso
inicial), obtendo o ponto Pa , podemos traçar a espiral esp.a, “paralela”, por assim dizer, à primeira espiral, mas partindo do ponto a.

A TRISECÇÃO DO ÂNGULO COM A ESPIRAL DE ARQUIMEDES

Enquanto a divisão de um ângulo em dois ângulos iguais tem uma resolução simples com compasso e régua não graduada, a trisecção é um problema impossível se apenas podemos utilizar estes dois instrumentos. Os matemáticos gregos já tinham essa convicção – embora a demonstração apenas tivesse sifo feita no séc. XIX... – e portanto procuraram outros meios de resolver esse problema, que juntamente com a quadratura do círculo e a duplicação do cubo constituem os célebres três problemas clássicos da geometria grega.

Arquimedes demonstrou, no tratado Sobre as Espirais, como a sua espiral podia resolver o problema. Na sua tese de mestrado, J. M. Rodrigues de Sousa mostra em detalhe essa solução. Vejamos em que termos faz Arquimedes essa demonstração. Seja A0B o ângulo a trissectar (figura 4) e seja a curva traçada pelo ponto P uma espiral de Arquimedes qualquer, apenas se exige que o ponto de partida seja o ponto 0. Consideremos o ponto de intersecção C da semi-recta 0B com a espiral.
Seja D um ponto sobre 0B tal que o segmento 0D tenha por medida 1/3 da medida de 0C – o ponto D é constructível com
régua e compasso, como o leitor pode confirmar (partindo da proposição 2, livro VI, de Euclides). Seja E o ponto de intersecção da circunferência de centro 0 e raio 0D com a espiral. Como a espiral é de Arquimedes, o movimento da semirecta em torno de 0 (desde 0A até 0B), tal como o do ponto P, sobre ela (desde 0 até C), que a vai traçar, são uniformes.


Ou seja, quando o ponto P percorreu 1/3 da distância 0C, e está portanto sobre E, a semi-recta 0A está sobre 0E e percorreu um terço do ângulo AOB. Portanto, ∠A0B/∠A0E = 3, como pretendíamos.

A ESPIRAL E OS CARRINHOS DE LINHAS

A minha mãe (tal como as trisavós dos meus leitores...) usava uma máquina de costura na qual a espiral de Arquimedes servia para os carrinhos de linhas serem bem comportados... Se não temos cuidado ao tentar enrolar automaticamente uma linha num chamado carrinho de linhas, o resultado será que a linha não fica uniformemente distribuída em toda a largura do carrinho, tendo tendência para se acumular
nas extremidades. A espiral de Arquimedes resolve esse problema... vejamos como. A figura 5 mostra uma dessas máquinas de costura e, na figura 6, a peça que nos importa
comentar. Vamos esquematizar essa peça na figura 7. O que o fabricante pretendia era uma parte da sua máquina de costura que enrolasse fio num carrinho de linhas. Mas pretendia que a haste L alimentadora do carrinho tivesse um movimento horizontal uniforme, para que o carrinho não ficasse com mais fio em certas zonas. Bom, movimento uniforme provocado por um movimento circular (como muitos que já existiam na máquina de costura) tinha que ser com uma espiral de Arquimedes, pensou o artífice...! Vai daí, como se pode ver no esquema da figura 7, inventou uma nova haste – a haste K – que era movida para a esquerda e para a direita num movimento uniforme, já que era empurrada e puxada por uma espiral de Arquimedes e pela sua simétrica, ao rodarem em torno do ponto 0.

Reforçando: 

A espiral de Arquimedes é uma curva descrita por um ponto que se desloca com uma velocidade uniforme ao longo de uma semi-recta, a partir da origem, que roda, com uma velocidade angular uniforme, em torno da origem.

A origem da semi-recta é o pólo da espiral; a distância de um ponto da espiral ao pólo é o raio vector desse ponto. Os ângulos de rotação são os ângulos polares que se contam a partir de uma posição inicial da semi-recta, designada por eixo polar, de zero para infinito. A cada valor do ângulo polar q corresponde um valor para o raio vector r.

As espirais destinguem-se segundo a relação que liga o raio vector com o ângulo polar. No caso da espiral de Arquimedes, esta relação é expressa pela equação r = a q. Neste caso, o raio vector varia proporcionalmente ao ângulo polar.



Mais informações sobre a Espiral de Arquimedes:

A espiral de Arquímedes, uma invenção chave da antiga Grécia, resolve o problema de levantar líquidos por meio de uma espiral dentro de um tubo, girando para elevar o líquido de um nível baixo até um mais alto. Além da tradição atribuída a Arquimedes, estudos recentes sugerem que você seja utilizado na Babilônia para irrigação, e que Arquímedes pode ter aperfeiçoado seu design. Este dispositivo, impulsionado pela energia manual, animal ou mecânica, foi fundamental na história da ciência, com figuras como Galileu Galilei estudando seu funcionamento. Ainda hoje, você utiliza diversas aplicações hidráulicas e energéticas, convertendo a energia cinética gerada por sua rotação em eletricidade, destacando-se não por sua velocidade, mas também por sua capacidade de gerar uma força constante e eficaz.

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