A probabilidade é a medida da possibilidade de ocorrência de um evento aleatório

A probabilidade é quantificada como um número entre 0 e 1, onde 1 indica certeza. Quanto maior a probabilidade de um evento, mais certo é o evento ocorrer.

Teoria Matemática da Probabilidade
Ao lançar uma moeda, a probabilidade de sair "cara" é igual à de sair "coroa", i.e., 1/2 oportunidade. A isto chama-se Probabilidade Teórica ou Probabilidade a Priori, porque resulta unicamente de um raciocínio dedutivo. Se uma moeda é lançada 100 vezes e sai "cara" 52 vezes, a probabilidade é de 0,52. Este tipo de probabilidade, que quantifica a ocorrência de um evento com base na evidência empírica dada pela experiência, chama-se Probabilidade Empírica ou Probabilidade a Posteriori.

Probabilidade e Jogo de Dados
Em 1651, De Mere, um jogador inveterado, encontrou-se com o matemático Blaise Pascal enquanto ambos viajavam. Enquanto falava sobre jogo, o primeiro questionou o matemático sobre distribuição de apostas. Blaise Pascal trocou as suas ideias com outro matemático, Pierre de Fermat. Ao fazer experiências de jogo, ambos analisaram os problemas encontrados e finalmente resolveram o problema da distribuição de apostas. "The Value of All Chances in Games of Fortune" (De Ratiociniis in Ludo Aleae), publicado em 1657 pelo matemático holandês Christian Huygens, que realizou investigações independentes, teve grande impacto no importante conceito de Expectativa Matemática.

Probabilidade e Estatística e Pesquisa
A Lei de Grandes Números afirma que a média dos resultados será mais próxima do valor esperado à medida que mais experiências são realizadas. Por outras palavras, quanto maior o número de ensaios, mais próxima a probabilidade empírica da probabilidade a priori. Um exemplo é a taxa de mortalidade. Não temos maneira de obter a probabilidade de morte de uma determinada faixa etária num determinado ano. Só podemos calcular o resultado do número total de mortes entre todas as faixas etárias nesse ano. Assim, o prémio do seguro de vida é analisado com base na probabilidade empírica. O valor do prémio é calculado com base na taxa de mortalidade de diferentes faixas etárias. Além disso, o governo, antes de elaborar políticas relativas a futuras mudanças na população e seu desenvolvimento social, deve levar em conta, pesquisar, organizar e analisar diferentes estatísticas referentes à subsistência e actividades comerciais das pessoas.

Sugestão de atividade
Experimente a probabilidade através do jogo de dados. Basta pressionar a asa do copo de dados. Registe, todas as vezes, a soma dos pontos e verifique se a probabilidade de soma de grandes e de pequenos valores é a mesma.

Sabia que?
Os primeiros dados remontam há 5000 anos, embora com a forma de hastes e pirâmides. Hoje em dia, os dados são geralmente cubos com seis faces, em que a soma dos lados opostos é sete. Outros tipos de dados em forma de vários poliedros, utilizados em jogos de tabuleiro, incluem o tetraedro, octaedro, trapezoedro pentagonal, dodecaedro e icosaedro.
Nos sorteios, independentemente do número total de participantes, algumas pessoas ganham sempre, enquanto outras pessoas nunca ganham. Além da probabilidade, que outros factores ou razões acha que podem afectar o resultado do sorteio?

Pesos e medidas refere-se à medição de objectos no nosso quotidiano, incluindo comprimento, volume e peso e, hoje em dia, também do tempo e temperatura

Unidades de Peso e Medida

No anúncio comercial da TV que referia: "6 ovos, 2 colheres de chá de açúcar, casca de laranja", o peso do açúcar é calculado com uma colher de chá! Embora o sistema métrico seja o sistema mais fácil para medir e calcular, alguns negociantes de Hong Kong e Macau continuam a usar outros sistemas de unidades a que estão acostumados, ou usam concomitantemente dois sistemas diferentes de unidades.

Na China, as unidades tradicionais para medir o comprimento são "li, zhang, chi, cun, fen". "Dan, hu, sheng, ge" são unidades para medir o volume, e "jin, liang, qian, fen" para calcular o peso. Hoje em dia, as unidades imperiais comuns ainda em uso para medir comprimento, volume e peso são, respectivamente, "milha, jarda, pé, polegada", "galão, pinto", "tonelada, libra, onça". O Sistema Internacional de Unidades é o padrão internacional usado em todo o mundo. As suas unidades básicas para medir o comprimento são o "metro, centímetro, milímetro", as de peso o "quilograma, grama, miligrama" e as de área e volume são o "metro quadrado, metro cúbico" etc. Somente as unidades para medir o tempo, "hora, minuto, segundo", não seguem o sistema decimal.

Ferramentas para Medição
A régua é a ferramenta mais simples para medir o comprimento. No entanto, além da régua e esquadro, existe ainda a régua de alfaiate para modelagem e desenho de vestuário. A balança "Cheng" que aplica a lei da alavanca é um tipo de ferramenta chinesa de medição tradicional. No entanto, foi substituída pela balança de pesos e, posteriormente, pela balança electrónica. Os instrumentos de medição de volume são mais diversificados, incluindo copos de medição utilizados em laboratórios ou outros tipos de recipientes para uso doméstico ou industrial.

Comprimento e Distância
O "Pé e polegada" do Sistema Imperial são frequentemente usados na arquitectura ou na indústria de mobiliário. As dimensões padrão de madeira de contraplacado são 3×6 e 4×8 pés. Uma cama de casal é de 4×6 pés, enquanto uma cama de solteiro é de 2,5×6 pés. A Jarda é normalmente usada para medir tecidos e fios/cabos. A sua aplicação mais conhecida é na conversão de penalidades nos jogos de futebol. Na maratona dos Jogos Olímpicos de Londres de 1908, a distância total desde o ponto de partida, no Castelo de Windsor, até à meta, em White City, foi de 26 milhas e 385 jardas, ou seja 42.195km. Tal tornou-se o comprimento padrão da maratona. De acordo com a Convenção das Nações Unidas sobre o Direito do Mar, a milha náutica (=1852.4m) do Sistema Imperial é usada para medir a distância das águas territoriais de um país ou zonas económicas exclusivas.

Peso e Quantidade
Nos mercados, supermercados ou lojas de ervas medicinais chinesas de Macau, os preços de alimentos não embalados, como arroz, legumes e carne, são calculados com base no quilograma do Sistema Internacional de Unidades, na libra do Sistema Imperial e no cate, unidade chinesa tradicional para a cálculo de peso. Um fenómeno interessante dos dias de hoje é que o preço da fruta depende da quantidade. Para o ouro, embora as joalharias usem a onça ou qian como unidades de peso para calcular o preço de seus produtos, a Onça Troy é usada como a unidade de transacção para ouro e metais preciosos, quando se trata dos preços internacionais do ouro (1 liang = 37,429 gramas = 1,20337 = 1.20337 onça de troy). Para a electricidade, embora o watt seja usado como a unidade de potência, a dos aparelhos de ar condicionado é calculada com base na unidade de potência cavalo-vapor (1cv = 745.69987158227022W).

Área e volume
A área de um território é geralmente medida em metros quadrados, mas o pé quadrado ou ping, como é usado em Taiwan, é comummente utilizado nas transacções imobiliárias (1m2 = 10,7584 ft2 = 0,3025 ping). Embora o galão para o volume apareça normalmente nos rótulos da água engarrafada, as companhias de água usam o metro cúbico como unidade para o fornecimento de água. Na China antiga, dou refere-se a um recipiente para a reserva de água e também uma unidade para medir o volume, sendo 1 dou é igual a 10 sheng. Também pode ser usado para medir arroz, óleo e vinho.

Sabia que?
Os antigos egípcios consideravem o cúbito a unidade de medida mais conveniente. Um cúbito é a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio. Pode ser dividido em sete partes, cada uma da largura de um palmo, ou em 28 cada partes, cada uma com um dedo de largura. O cúbito foi usado como a unidade de comprimento padrão para medir a área territorial do Egipto e até mesmo para construir com precisão as pirâmides.
Os britânicos pensam que a forma mais prática de medição é usar o nosso corpo. Uma jarda é a distância da ponta do nariz do rei Henry até à ponta do seu indicador. Um pé é o comprimento do pé de um adulto. Uma polegada é o comprimento de uma falange do polegar.

A simetria é uma característica das figuras geométricas

Os lados esquerdo e direito de um objecto são simétricos se observarmos imagens espelhadas de cada um. Uma figura plana tem simetria reflexiva se ambos os lados esquerdo e direito da sua linha central (eixo) coincidem quando dobrados. Pode haver um ou mais eixos. Uma figura tem simetria radial se aparecer inalterada após girar 180° sob seu ponto central.

Simetria na Natureza
A simetria aparece frequentemente na natureza. É como a proporção, equilíbrio e coordenação entre as diferentes partes de um sistema. São disso exemplo os tigres, alforrecas, abelhas, borboletas, etc. A simetria facilita o equilíbrio coordenação física sob o comando dos seus sistemas nervosos centrais. No entanto, equinodermos, como a estrela-do-mar tem simetria radial. No mundo botânico, a simetria rotacional aparece frequentemente em folhas, hastes e pétalas de flores, como plantas suculentas, rosas, etc. Um exemplo típico de simetria com múltiplos eixos encontrados na natureza é o floco de neve hexagonal.

Assimetria em Simetria
O corpo e a aparência dos animais, incluindo os seres humanos, são simétricos, embora seus órgãos internos permaneçam assimétricos. No corpo humano, em geral, o coração encontra-se no lado esquerdo, o fígado no direito e o estômago também no esquerdo. Os biólogos descobriram que o embrião cresce simetricamente até cerca de 6 semanas, quando a assimetria esquerda-direita começa a aparecer, uma vez que o fluxo de fluido movido pelos numerosos cílios giratórios no nó determina o desenvolvimento normal do eixo esquerdo-direito.

Simetria Artificial
A simetria é um conceito formado durante o processo de observação e compreensão da natureza pelos seres humanos, e gradualmente forma princípios estéticos gerais. Na vida real, no que respeita à aparência externa, geralmente quanto maior a simetria, mais atraente se considera. Exemplares da arquitectura chinesa e estrangeira, como o Taj Mahal, o Arco do Triunfo, o Templo do Céu, etc., fizeram uso de eixos simétricos nos projectos arquitectónicos para parecerem mais elegantes e grandiosos. Diferentes tipos de utensílios tradicionais, artefactos e até mesmo objectos decorativos em casas modernas fazem abundante uso da simetria para exprimir os seus conceitos de estética.

Sugestão de atividade
Encontre a outra metade de si próprio! Sente-se correctamente e ajuste seu assento. Olhe para a câmara acima do espelho e veja se o lado esquerdo e direito do seu rosto são simétricos.

Sabia que?
O físico de partículas japonês Hitoshi Murayama, no seu complemento ao Modelo Padrão, propôs em 1996, pela primeira vez, a super simetria. É um tipo de simetria entre fermiões e bosões. No entanto, ainda não foi encontrado ou observado na natureza.

Benoit Mandelbrot, matemático polaco, criou o termo Fractal para descrever uma pedra quebrada - fragmentada e irregular

As características principais de um fractal são a auto-similaridade da sua estrutura e resolução indefinida. Por outras palavras, um objecto é idêntico a uma parte de si mesmo. Por exemplo, o litoral parece irregular à distância. No entanto, se for observado de mais perto, parte dele é semelhante à sua forma no todo. Resolução indefinida significa que quando observando objectos em pequena escala, pode ser observada a sua estrutura única e detalhada.

A Geometria de Fractal é a geometria que estuda formas geométricas irregulares. É usada para descrever, formular e analisar formas complexas, formas não uniformes e arestas encontradas na natureza. Por isso, é também conhecida como geometria da natureza.

Se tiver dificuldade em compreender os fractais, pode olhar para o ecrã com atenção e obter, com maior clareza, informação sobre o assunto através da "Árvore Fractal" e do "Floco de Neve Koch"

1) De acordo com as investigações de Benoit Mandelbrot e de Michael Frame, a construção de uma Árvore Fractal Binária é definida recursivamente por ramificação binária simétrica. O tronco é dividido em dois ramos, cada um tendo o mesmo ângulo com a direcção do tronco. Cada ramo seguinte divide-se pela mesma regra. Continuando este processo quantas vezes quisermos, a árvore é o conjunto dos ramos juntamente com seus pontos terminais.

2) A Curva de Koch introduzida pelo matemático sueco Helge von Koch é um tipo de curva fractal. É também chamada Curva Floco de Neve devido à sua aparência. Pode ser construída dividindo, em primeiro lugar, cada lado de um triângulo equilátero em três segmentos de igual comprimento. Em seguida, remove-se o segmento de linha no meio e substitui-se por um triângulo equilátero apontando para fora, mas sem base. Ficamos com um hexagrama. Repete-se o mesmo procedimento para cada lado da figura. Após cada repetição, o comprimento de seu perímetro aumentará em um terço. Assim, a curva de floco de neve tem auto-similaridade e comprimento infinito, mas a área é ainda limitada.

O termo criptografia é originário do grego e significa ocultar informação

Por outras palavras, encriptar mensagens originais, para que somente a pessoa que tenha forma de as descodificar as possam alterar de volta à forma original. No mundo ocidental, existe a Criptografia Antiga e a Criptografia Moderna. A primeira enfatiza a redacção da mensagem com confidencialidade, modo de transmissão e método de descodificação. A segunda dá prioridade à fonte de informação, integridade dos dados e questões de segurança durante o processo de transmissão.

Antiga Criptografia Chinesa
O mais antigo sistema de codificação e senha tem origem no I Ching. Refere-se às hastes celestes e ramos terrestres. De acordo com os Seis Ensinamentos Secretos, Jiang Ziya inventou o Yin Fu (registro secreto), usado em comunicações militares, em que ambas as partes transportavam metade do Yin Fu, que seria reunido quando precisassem provar a sua autenticidade. Jiang também inventou o Yin Shu, isto é, um documento secreto e escrito verticalmente que era dividido em três partes, cada uma delas ficando na posse de uma pessoa diferente. Cada parte seria entregue ao destinatário por rotas diferentes e em ocasiões diferentes, de modo a evitar expor o conteúdo da mensagem. O famoso código Fanqie foi inventado por Qi Jiguang. Era uma técnica de escrita secreta que usava os símbolos fonéticos Fanqie para encriptar. Diz-se que era o código mais difícil de descodificar. Os povos antigos usavam o método de água alúmen na escrita. Após escrever com água alúmen e deixá-la secar, as palavras tornavam-se invisíveis e só podiam ser vistos se molhadas em água.

Cifra de César
A cifra de César é, na criptografia, um tipo de cifra de substituição. De acordo com registos do historiador romano Gaius Suetonius Tranquillus, a cifra de César era usada com a troca de três posições de uma letra para proteger mensagens de importância militar. César acreditava que, se tivesse algo confidencial a dizer, teria de o escrever em cifra, alterando a ordem das letras do alfabeto em vez de mudar apenas uma palavra. Se alguém quisesse decifrar a mensagem, teria de reverter o processo, por exemplo, D para A, e assim por diante.A cifra de César é, na criptografia, um tipo de cifra de substituição. De acordo com registos do historiador romano Gaius Suetonius Tranquillus, a cifra de César era usada com a troca de três posições de uma letra para proteger mensagens de importância militar. César acreditava que, se tivesse algo confidencial a dizer, teria de o escrever em cifra, alterando a ordem das letras do alfabeto em vez de mudar apenas uma palavra. Se alguém quisesse decifrar a mensagem, teria de reverter o processo, por exemplo, D para A, e assim por diante.

Sabia que?
Quando utilizamos a ATM, quando entramos no sistema de computador ou quando recebemos correio electrónico, somos obrigados a digitar o nome de usuário e uma senha. Isto é, um conjunto de sequências de caracteres confidenciais que protegem a mensagem de ser vista por pessoas não autorizadas ou de ser usada para operações não autorizadas.
Quando fazemos transacções on-line, somos obrigados a inserir uma Senha Descartável, que é válida para usar apenas uma vez, de modo a reforçar a segurança da transacção on-line.
Cavalo de Tróia é um aplicativo de gestão remota. Não é um vírus de computador. É usado para ter acesso a informações confidenciais de cada computador, por exemplo, cartão de crédito, cartão de identificação, informações de conta bancária, etc. Geralmente é escondido em plug-ins não-identificáveis de jogos, spam, ou fotos, de forma a que os usuários sejam tentados a abri-los. Uma vez abertos, eles serão incorporados no computador do usuário. Assim, é sempre aconselhado que se instale um software antivírus, e que não se abram documentos ou afins anexos desconhecidos ou sejam descarregados software grátis.

Escoteiros - Pessoas que respeitam, produzem, compartilham.

O ideal dos escoteiros é promover o desenvolvimento integral dos jovens, preparando-os para serem cidadãos responsáveis, úteis e conscientes de suas responsabilidades sociais e ambientais.Isso é alcançado através da combinação de atividades ao ar livre, aprendizagem por experiências, desenvolvimento de habilidades, e a incorporação de valores como honestidade, lealdade, amizade, solidariedade e respeito.

Em resumo:
Desenvolvimento Integral:
O Escotismo busca desenvolver o potencial físico, intelectual, social, afetivo e espiritual dos jovens.
Aprendizagem Prática:
Através de atividades como acampamentos, trilhas e jogos, os jovens aprendem de forma prática e lúdica.
Valores e Ética:
O Escotismo promove a importância de valores como honestidade, lealdade, respeito e solidariedade.
Serviço ao Próximo:
A filosofia "Sempre Alerta para Servir" enfatiza a importância de ajudar o próximo e contribuir para a comunidade.
Liderança e Trabalho em Equipe:
O Escotismo incentiva o desenvolvimento de habilidades de liderança e o trabalho em equipe.

O Escotismo utiliza um método educativo que valoriza a autonomia, a participação ativa e o respeito pelas diferenças, buscando formar jovens conscientes e comprometidos com a construção de um futuro melhor.

Pessoas que respeitam, produzem, compartilham.

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O escotismo valoriza a honestidade, a lealdade, a amizade, a tolerância, a solidariedade, a cortesia, a preservação do meio ambiente, a economia, a alegria, os cuidados com o corpo e com o espírito. 

***Em breve, fotos de atividades com os lobinhos e a tropa escoteira.***

Os Lobinhos são um grupo do Movimento Escoteiro que reúne crianças entre 6,5 e 10 anos. O objetivo é que elas aprendam a viver em grupo, a socializar e a desenvolver a liderança. 

Como é a organização do Ramo Lobinho?

Os Lobinhos formam uma alcateia, que é dividida em matilhas de 4 a 6 crianças.

As matilhas acompanham os Lobinhos durante todo o período em que participam do Ramo.

Os Lobinhos têm uma lei própria, a Lei do Lobinho, que traz cinco artigos.

Os Lobinhos usam um uniforme que os identifica como parte de uma grande fraternidade.

Os Lobinhos têm distintivos que revelam o que aprenderam na Alcateia 

Como os Lobinhos aprendem? 

Os Lobinhos aprendem através de jogos, brincadeiras e aventuras

Os Lobinhos aprendem a importância da boa ação diária

Os Lobinhos aprendem a viver em meio à natureza

Os Lobinhos aprendem a resolver conflitos pacificamente

Como o Ramo Lobinho surgiu? 

O Ramo Lobinho surgiu a partir da história de Mowgli, o menino lobo, do livro “O Livro da Jângal”

"O que parece estranho hoje ... amanhã pode ser um clássico"

Quando ninguém queria lhe dar uma chance, ele criou algo que o mundo jamais esqueceria.

Friz Freleng já era um mestre da animação quando decidiu ousar mais uma vez. Em vez de fazer apenas uma abertura comum para um filme, ele deu vida a uma ideia única: uma pantera elegante, misteriosa… e totalmente rosa.

O resto é história. A Pantera Cor-de-Rosa conquistou o mundo, não com palavras, mas com charme, estilo e humor silencioso. O personagem brilhou tanto que ofuscou o próprio filme e se tornou um ícone eterno.

Mas por trás de cada traço estavam noites insones, esboços amassados e vozes dizendo que “isso não vai dar certo”.

E mesmo assim, ele insistiu.

“O que parece estranho hoje... amanhã pode ser um clássico.”

Nunca subestime o poder de uma ideia simples e bem feita. 

***Blake Edwards criou o filme A Pantera Cor-de-Rosa (1963).

Friz Freleng criou o personagem animado da Pantera, usada na abertura do filme e depois nos desenhos animados.

A relação entre gatos e a sequência de Fibonacci é principalmente uma questão de curiosidade e observação da natureza.

A sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8...) é uma sequência matemática onde cada termo é a soma dos dois anteriores, e ela aparece em diversos padrões naturais, incluindo a disposição de folhas em um ramo, a espiral de um caracol e, de forma mais geral, em padrões de crescimento e desenvolvimento em plantas e animais. Embora um gato em si não esteja diretamente ligado à sequência de Fibonacci, a sua forma e posição podem, por vezes, criar um padrão que lembra a espiral de Fibonacci, como pode ser demonstrado na imagem.

Em resumo:

A sequência de Fibonacci é uma sequência matemática que aparece em vários padrões naturais.
Gatos podem, por coincidência, ter posições ou formas que lembram a espiral de Fibonacci.
Não há uma ligação direta entre gatos e a sequência de Fibonacci, apenas uma possível observação de um padrão visual semelhante.

Número primo

Um número primo, ou um primo, é um número natural maior que 1 que tem somente dois divisores: 1 e ele próprio. Assim, 2, 3, 5 e 7 são números primos, enquanto que 4, 6, 8 e 9 são números compostos, mas não primos. Torna-se mais difícil encontrar números primos à medida que o número se torna maior. Cerca de 300 a.C., Euclides, matemático grego, no livro "Os Elementos", enumerou e provou que há uma quantidade infinita de números primos.

Primo de Mersenne
Número de Mersenne é assim designado em honra do matemático francês do Sec. XVII, Marin Mersenne. Se um número Mersenne é um número primo, ele é chamado Primo de Mersenne, que equivale a 2 elevado à potência n, menos 1, por exemplo, 3 = 22-1 e 7 = 23-1. Até finais de 2016, o maior número primo conhecido era 274207281 - 1, que tem um total de 22.338.618 dígitos.

Número Primo e o Criptossistema RSA
O Criptossistema RSA foi assim designado a partir das iniciais dos apelidos de Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, do Instituto de Tecnologia do Massachusetts, Estados Unidos da América. Em 1977, propuseram a criptografia de chave pública que consiste em criptografia assimétrica que usa números primos para proteger informações confidenciais. O computador pode multiplicar dois números primos muito elevados, mas é difícil factorar o produto desses dois números primos.

Este tipo de criptossistema faz uso da matemática para gerar um par de chaves, sendo uma chave privada e outra chave pública. Sucintamente, se a chave de criptografia for pública, somente a chave privada emparelhada pode ser usada para desencriptar. Além da encriptação e desencriptação, a criptografia de chave pública também é aplicada na Troca de Chaves e Assinatura Eletrónica.

Sugestão de atividade lúdica

Venha aprender com castores sobre números primos! Cada jogo possui três níveis. No ecrã, surgem castores com diferentes números, a saltar dos seus buracos. Quando vir castores com números primos, tente apanhá-los premindo os botões correspondentes aos buracos de onde eles aparecem. Receberá 1 ponto por cada castor que apanhar corretamente, e terá 1 ponto deduzido por cada castor cujo número não seja primo. Vamos jogar!

A matemática e a natureza

A Natureza, no sentido mais amplo, reporta-se ao mundo natural, incluindo a água, ar, montanhas, microrganismos, plantas e animais, a Terra e o Universo. Por volta de 600 a.C., alguns filósofos gregos acreditavam que a natureza possuía um senso de ordem já que mutações ocorrem seguindo certos padrões. Assim, procuraram usar métodos matemáticos para descrever os fatores de mudança e calcular o resultado.

Os Números de Fibonacci, descobertos por matemáticos italianos, aparecem em toda parte no reino vegetal. Nesta famosa sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...), exceto os dois primeiros números, cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores. Os Números de Fibonacci aparecem reflectidos nos ramos de árvores, pétalas de rosas, escamas das pinhas, ou na casca do ananás; até as sementes de girassol estão organizadas em espirais logarítmicas. Além disso, quando tomamos dois números de Fibonacci sucessivos, a sua proporção é muito próxima da razão dourada. No mundo animal, a concha do náutilo tem internamente câmaras dispostas em espiral logarítmica e o seu exterior é conforme com a razão dourada.


O exemplo mais famoso do Número de Fibonacci é o crescimento populacional dos coelhos. Este problema começa com um par de coelhos e tem três pressupostos: Os coelhos acasalam com a idade de três meses; uma fêmea pode gerar outro par de coelhos todos os meses; e os coelhos nunca morrem. Nesta sequência infinita, o número total de pares de coelhos por mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 .... Haverá um total de 233 pares de coelhos ao fim de um ano.


Animal Arquiteto - As escolhas das Abelhas
Porque razão o exterior das colmeias das abelhas parece uma estrutura composta por células hexagonais, mas a base de cada célula é formada por três losangos regulares? A primeira questão envolve o Problema Isoperimétrico clássico, que é determinar uma figura plana com a maior área possível cujo limite tem um comprimento específico. As abelhas, por instinto, escolheram o hexágono, o que lhes permite construir os favos de mel da maneira mais econômica. A segunda questão é como construir células com o maior volume mas usando a menor quantidade de cera. Em relação à base da célula, as abelhas usaram três losangos regulares para formar a base do prisma hexagonal. A estrutura, dado o volume fixo, irá formar uma menor área de superfície de modo a que seja necessária a menor quantidade de materiais para construir o favo de mel. O astrônomo G. F. Maraldi mediu o ângulo agudo e o ângulo obtuso da base da célula, e concluiu serem de 70°32" e 109°28". Comparando com os resultados de cálculo, que são 70°34" e 109°26", eles só diferem em 2". O mundo natural é realmente incrível!


Animal matemático - Teia da Aranha
Uma teia da aranha é uma estrutura tipo rede, criada por uma aranha com a seda que produz. É usada para habitação e captura de presas. Diferentes tipos de aranhas constroem teias de diferentes formas e tamanhos. As teias orbe são formadas por fios em espiral, tecidos em torno dos raios de uma estrutura radial. As teias em funil são teias horizontais, tipo folha, com um pequeno tubo semelhante a um funil no meio ou num dos lados da teia. As teias emaranhadas têm um enredado disforme de fios na metade superior, enquanto a metade inferior tem fios de seda em suspensão que tocam o chão para capturar presas. Em teias tipo folha, os fios de seda estão entrelaçados em direções diferentes. Em geral, os raios nas teias de aranha são raios radiando do centro para fora, enquanto a linha espiral consiste em linhas colocadas sobre os raios e seguindo a espiral logarítmica.


Sabia que?
Quando os falcões voam no céu à caça de pequenos animais no chão, geralmente procuram o melhor ângulo para garantir maior velocidade e precisão.
Quando as lagartixas caçam mosquitos, moscas, traças e outros tipos de pequenos insetos, geralmente rastejam ao longo de uma linha em espiral. Em matemática, esta linha é chamada Espiral.
Quando as abelhas cortadoras usam as suas mandíbulas para cortar folhas em partes circulares ou ovais, os pedaços de folha têm todos a mesma forma e tamanho como se fossem cortados pelo mesmo molde.
O pólipo de coral trata o seu corpo como um calendário. Todos os anos, 365 linhas curvas são marcadas no seu corpo, aparentemente uma linha por dia.
Quando as garças vermelhas migram, normalmente voam juntas numa formação em "V". O ângulo desta formação é de cerca de 110°. Coincidentemente, metade deste ângulo é também o ângulo nos diamantes e cristais.
No Inverno, os gatos geralmente enrolam os seus corpos em forma de esfera de modo a que a área dos seus corpos exposta ao frio seja mínima, reduzindo também ao mínimo a perda de calor.

Atividades lúdicas

Colmeias

As colmeias construídas pelas abelhas são formadas por prismas hexagonais. A extremidade aberta de cada célula é um hexágono e a base, na extremidade fechada, é formada por três losangos do mesmo tamanho. O ângulo agudo e o ângulo obtuso de cada losango são de 70°32" e 109°28".


Folha

A disposição das folhas segue números especiais? O crescimento das folhas segue uma rotação de 137.5°, evitando a sua sobreposição em maior extensão, absorvendo assim a luz solar de forma mais eficiente.


Borboleta

As asas das borboletas são simétricas, mas a frequência com que agitam as asas não é alta, apenas quatro a dez vezes por segundo. Na realidade, as suas asas simétricas não são muito úteis para manterem um voo equilibrado.


Estrela-do-mar

A estrela-do-mar é um animal marinho em forma de estrela e possui, normalmente, 5 braços. A estrela-do-mar tem a capacidade de regenerar os seus membros desde que esteja presente um pedaço do disco central, e algumas espécies, de um braço perdido, podem desenvolver uma nova estrela-do-mar.


Coelho

O problema de crescimento populacional de coelhos de Fibonacci, refere que se um par de coelhos gera um par de coelhos (um macho e uma fêmea) por mês, cada coelho recém-nascido pode gerar outro par de coelhos no terceiro mês, e os coelhos nunca morrem. Qual o número total de coelhos após 50 meses?


Concha de Náutilo

Tente desenhar a secção transversal de uma concha de náutilo num retângulo, com uma proporção de 1: 1.618. Primeiro, desenhe um quadrado dentro do rectângulo. Em seguida, no rectângulo menor adjacente, desenhe outro quadrado. Continue a desenhar quadrados, desta mesma maneira, até que não possa desenhar mais. Finalmente, desenhe uma curva em espiral que passe através de cada quadrado e o resultado será uma Espiral Dourada.


Girassol

Imagine que coloca uma semente no centro do girassol e outra perto do centro. Em seguida, coloque outra próximo ao centro girando 0,618 de um círculo (360°× 0,618 = 222,48°). Continue a colocar as sementes segundo este método para preencher todo o núcleo da flor, formando um arranjo único das sementes de girassol. De fato, 0,618: 1 = 1: 1,618 é a Proporção Dourada.


Anéis de Crescimento das Árvores

Quando uma árvore é cortada, na sessão transversal do tronco da árvore são revelados os anéis de crescimento. Representam a idade da árvore. Os anéis de cor mais clara são formados na Primavera, enquanto que os de cor mais escura são formados no Outono e Inverno. No entanto, as árvores que crescem em regiões tropicais podem não apresentar anéis de crescimento, dadas as mudanças sazonais serem mínimas.