Insumos sustentáveis são recursos que respeitam critérios ambientais e sociais, garantindo a renovação natural dos ecossistemas.

São produtos ou materiais que minimizam o impacto ambiental e contribuem para a a sociedade. 

Eles podem ser utilizados em diversos setores, como na mobilidade, na produção de embalagens e na agricultura.

Alguns exemplos de insumos sustentáveis incluem:

- Caixas biodegradáveis
- Bio stretch, uma alternativa ecológica ao plástico. É um filme elástico que protege mercadorias sem gerar resíduos plásticos.
- Papel e papelão ondulado
- Pó de rocha, que é aplicado no solo para a sua remineralização

- Bioconcreto, bioplástico, ecogranito, painel solar, tijolo de adobe e manta reciclada

- Pallets reutilizáveis, que reduzem o uso de madeira e plástico

- uniformes e EPIS orgânicos, feios de materiais naturais

A utilização de insumos sustentáveis pode trazer diversos benefícios, como:
- Reduzir a pegada de carbono
- Ganhar a confiança de um público cada vez mais exigente com práticas verdes
- Fortalecer iniciativas ecológicas
- Criar um ciclo sustentável
- Destacar-se em mercados cada vez mais competitivos

Além de insumos sustentáveis, é possível adotar outras práticas sustentáveis, como: Economia de água, Consumo de produtos biodegradáveis, Reciclagem de materiais, Separação do lixo para coleta seletiva, Utilizar transportes coletivos ou adotar a prática da carona solidária.

O uso de insumos sustentáveis está se tornando cada vez mais importante, pois consumidores e empresas priorizam a responsabilidade ambiental e social.

A glicerina é um insumo sustentável, pois é um subproduto da produção de biodiesel, que é uma alternativa viável para substituir combustíveis fósseis.

A glicerina é um composto atóxico, não tóxico para humanos, animais e plantas, e com alta taxa de biodegradação.

A glicerina é um insumo valioso na produção de uma "Poliacrilonitrila Verde", que é totalmente sustentável. Ela também é utilizada em vários setores da economia, como:
Indústria de tintas e vernizes
Indústria têxtil
Indústria do couro
Indústria de refrigerantes
Indústria farmacêutica
Indústria de cosméticos
Extratos de chá e café
Lubrificante atóxico de máquinas
Anticongelante da água

A glicerina é obtida a partir de óleos vegetais, como óleo de coco e de palma, ou da gordura de alguns animais.

O biodiesel é um combustível renovável, biodegradável e líquido, produzido a partir de fontes como óleos vegetais e gorduras animais.

 

Ele pode ser usado para substituir parcialmente ou totalmente o diesel de petróleo em veículos e máquinas geradoras de energia.

O biodiesel é obtido por meio de um processo químico chamado transesterificação, que consiste na reação entre os triglicerídeos dos óleos e gorduras e um álcool primário, como o metanol ou etanol. Esse processo gera dois produtos: o éster e a glicerina.

O biodiesel é mais ecológico do que o diesel convencional, pois polui menos o meio ambiente. Além disso, a sua produção e o cultivo das matérias-primas podem criar novos empregos, principalmente na agricultura familiar.

No Brasil, o biodiesel começou a ser pesquisado no final da década de 1990, mas o seu uso avançou significativamente a partir do lançamento do Programa Nacional de Produção e Uso do Biodiesel (PNPB) em 2004.

Para importar ou produzir biodiesel no Brasil, é necessário:

Ter sede e administração no Brasil

Ser autorizado pela Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP)

Manter registro especial na Receita Federal

Aderir ao Domicílio Tributário Eletrônico (DTE)

Estar legalmente constituído para o exercício da atividade

A Odisseia de Homero é uma obra de grande importância para a cultura e a mitologia grega, e para a literatura ocidental:

É uma das obras fundamentais da Grécia Antiga, juntamente com a Ilíada, também de Homero.

É considerada a segunda obra da literatura ocidental e faz parte do cânone literário da região.
A Odisseia é uma das principais fontes de conhecimento sobre a mitologia grega.
A Odisseia e a Ilíada foram fundamentais para a construção de uma identidade cultural comum aos povos gregos.
A Odisseia reflete valores morais e éticos da sociedade grega.
A Odisseia mistura fatos históricos e mitos, o que representa uma questão fundamental para a cultura grega.
A palavra "odisseia" tornou-se sinônimo de narrativa que relata uma série de acontecimentos extraordinários.

A Odisseia é um poema épico que narra as aventuras de Odisseu, rei de Ítaca, durante 10 anos após a Guerra de Troia. Odisseu enfrenta inúmeros desafios, incluindo a inimizade do deus Poseidon, para garantir o seu retorno ao seu reino.

A história da Grécia Antiga é formada, principalmente, por uma série de mitos fundadores daquela sociedade e, também, de relatos orais que transmitiam a cultura da região. E os poemas eram uma forma importante de passar essa tradição para as novas gerações.

Nesse contexto histórico, duas obras foram muito importantes para a formação da sociedade grega: Ilíada e Odisseia, considerados os maiores poemas épicos da história. Sua autoria é atribuída ao poeta Homero e registra um momento importante da história Grega, escritas entre os séculos VIII e IX a.C.

Mas afinal, como essas duas obras podem cair no Enem? Confira a seguir tudo que você precisa saber sobre o tema para chegar preparado na prova.

1 O que foi a Ilíada?
2 O que foi a Odisseia?
3 Qual a importância desses poemas épicos para a história da Grécia?
O que foi a Ilíada?
Ilíada é um poema épico grego que aborda sobre a Guerra de Tróia, a partir do seu 9º ano. O poema conta sobre como os aqueus, sob as ordens de Agamenon, lutaram contra os troianos para recuperar Helena, que havia sido sequestrada por Paris, filho do rei de Tróia.

A batalha entre Agamenon e Aquiles – este último o herói mitológico que, pelos oráculos, estava destinado a morrer em batalha para salvar a Grécia, é retratada nos versos do poema. Sua ausência faria com que os gregos perdessem a guerra, com a ausência do seu herói.

Ilíada foi registrada, aproximadamente, 400 anos após o acontecimento da guerra. Ele se encerra com a morte de Heitor (maior herói troiano) e, por pedido de Zeus (o Deus dos Deuses na Grécia), haveria uma trégua entre as partes para que pudessem lidar com seu luto.

Monumento de cavalo de troia
O poema Ilíada conta a história da Guerra de Troia, com histórias sobre heróis como Aquiles e deuses gregos
O que foi a Odisseia?
A Odisseia conta a história de Ulisses (nome latino, cujo nome grego é Odisseu), herói da Guerra de Tróia, após 10 anos do fim deste período e conta o período de 17 anos até que ele possa retornar para casa e suas aventuras pelo trajeto (ou seja, sua odisséia pessoal).

Tour pela prova do Enem
Ela foca, principalmente, na astúcia de Ulisses durante o seu retorno, principalmente com o apoio dos deuses do Olímpo. Por exemplo, Atena aparece para o protagonista, dizendo que, caso ele retorne para sua esposa, os pretendentes dela (acreditando que ele estava morto) o matariam, principalmente por não reconhecê-lo.

Com isso, a deusa do conhecimento transformou Ulisses em mendigo, para que ele pudesse entrar no palácio sem ser visto e poder ser reconhecido pela sua esposa, que o aceita como pretendente. A história reflete a ideia do guerreiro virtuoso, valente, acolhido pelos deuses, com astúcia e inteligência.

Selo com cena de Ulisses
A Odisseia segue a jornada de Ulisses depois da Guerra de Troia
Qual a importância desses poemas épicos para a história da Grécia?
Os poemas épicos gregos, além de registros históricos, são também um relato do estilo de vida e da importância dos mitos na cultura da Grécia Antiga. Além disso, eles refletem valores morais e éticos que faziam parte daquela sociedade e nos permite compreender questões importantes sobre essa sociedade, que trouxe valores importantes para nossa sociedade atual.

Outro ponto é que o poema reflete uma questão histórico-cultural: há muitas versões de Ilíada e Odisseia, justamente, porque nesse momento, as histórias eram contadas por trovadores, que viajavam de cidade em cidade e recitavam os poemas com as histórias do povo grego. Por isso, até mesmo a figura de Homero é questionada: não se sabe se, de fato, ele existiu.

Além disso, tanto Ilíada quanto Odisseia misturam fatos históricos e mitos em sua composição. Por exemplo, Ilíada aborda sobre como Atena, a Deusa do Conhecimento, recusou-se, inicialmente, a aceitar o ritual realizado para que Tróia conseguisse reverter os problemas que estava tendo na guerra.


Com isso, vemos a importância dos mitos para a história e para a filosofia grega e como a mescla deles com a história representa uma questão fundamental para essa cultura.

Esses são pontos que podem cair no Enem sobre Ilíada e Odisseia. Esperamos que este conteúdo tenha ajudado você a conhecer mais sobre o tema!

Ficou alguma dúvida ainda sobre o assunto? Deixe nos comentários e vamos ajudá-lo nisso!

Perguntas Frequentes
Qual a relação entre Ilíada e Odisseia?
Ilíada e Odisseia estão relacionadas com um evento histórico da Grécia Antiga: a Guerra de Tróia. Enquanto Ilíada retrata fatos relacionados diretamente com o conflito e suas consequências trágicas para a história da Grécia.

Enquanto isso, Odisséia relata o retorno de Odisseu, o herói de guerra, para casa e seus desafios para conseguir o retorno, após o fim da Guerra de Tróia. Por isso, ambos refletem os valores desse período histórico e dialogam entre si neste ponto.

Qual a importância dos mitos para a cultura na Grécia Antiga?
A sociedade grega na Antiguidade contava com os mitos para auxiliar na compreensão do mundo como um todo e estabelecer a relação do homem com ele. Por meio das narrativas míticas, estabelecia-se questões que faziam parte dos conflitos cotidianos, representando os Deuses do Olimpo com seus problemas, falhas, divergências e dilemas morais.

Também aborda, por meio das narrativas míticas, questões menores do dia a dia e que tinham ajuda dos deuses gregos para isso. Ou, então, problemas que poderiam ser potencializados com a ira dos deuses.

Qual a relação entre os mitos e a filosofia grega?
Mito e filosofia gregas não podem se confundir, mas elas se correlacionam. Os mitos eram considerados fatos históricos e inquestionáveis, enquanto a filosofia fazia parte do campo de reflexões e questionamentos da época.

Contudo, muitas questões filosóficas da época tinham origem, justamente, nos mitos fundadores da sociedade grega antiga.

Os Jogos Olímpicos deixam um legado importante para o mundo, tanto em termos de valores, como de desenvolvimento social e econômico:

Valores
Os Jogos Olímpicos transmitem valores como respeito, amizade, persistência, inclusão e diversidade. Os atletas, mesmo diante de desafios, mantêm a integridade e o espírito esportivo, o que pode inspirar as crianças.

Desenvolvimento social
Os Jogos Olímpicos são um evento que promove o intercâmbio cultural e apresenta histórias de superação.
Desenvolvimento econômico

Os Jogos Olímpicos podem gerar um significativo avanço econômico para a cidade e o país-sede. A realização do evento pode criar novos empregos, melhorar a renda das famílias e aumentar o potencial de consumo.

Melhorias estruturais
A realização dos Jogos Olímpicos pode levar a melhorias estruturais permanentes, como a rede de transporte, moradia e instalações esportivas.

Mais do que um evento de proporções globais, as Olimpíadas também são uma importante fonte de inspiração que pode estimular o interesse pela prática de algum esporte. Além de proporcionar diversão e emoção, os Jogos Olímpicos são capazes de deixar um legado importante sobre superação, determinação e respeito.

Ver atletas de diferentes países, origens e histórias de vida alcançarem o pódio alimenta sonhos e pode incentivar nas crianças a vontade de praticar algum esporte. “A prática esportiva é importante não apenas com o objetivo de competir, mas também é essencial para a manutenção da saúde, disciplina e bem-estar”, ressalta o coordenador do Núcleo de Atividades Complementares do Colégio Marista Maringá, Renan Carlos Klichowski.

Valores das Olimpíadas
As Olimpíadas também transmitem valores essenciais para a formação, como respeito, amizade e persistência. Esses valores, que devem ser ensinados desde cedo para as crianças, ganham vida por meio dos atletas que, mesmo diante de desafios, mantêm a integridade e o espírito esportivo. “Para as crianças, esses valores se tornam mais palpáveis e inspiradores quando vistos em ação”, lembra o coordenador.

Inclusão e diversidade
Outro ensinamento importante dos jogos olímpicos é a inclusão e a diversidade. Afinal é um evento que consegue reunir atletas de quase todos os países do mundo, independentemente de raça, religião, gênero ou condição social. Para as crianças, é a possibilidade de conhecer diferentes culturas e estilos de vida.

Superação e resiliência
Os jogos também são uma aula prática de superação e resiliência. Com os atletas, que costumam enfrentar adversidades, lesões, e até mesmo derrotas, as crianças aprendem que o fracasso não é o fim, mas parte do processo de crescimento. Essa lição ensina que, mesmo com dificuldades, é possível tentar novamente.

Oportunidades de desenvolvimento
Por fim, as Olimpíadas podem ser uma oportunidade de desenvolvimento e de descobrir vocações. Isso porque, com os jogos, as crianças podem se motivar a descobrir algum esporte que gostem de praticar. Além disso, o esporte pode ensinar habilidades valiosas, como trabalho em equipe, liderança e disciplina.

Transição energética

 A transição energética é um processo de mudança do modelo de produção, distribuição e consumo de energia para uma maior sustentabilidade. O objetivo é reduzir o uso de combustíveis fósseis, como o petróleo, o gás natural e o carvão, e aumentar a utilização de fontes renováveis, como a energia solar, eólica, hidrelétrica e de biomassa.

A transição energética é importante para proteger o planeta das mudanças climáticas, que são causadas pelo aumento de gases de efeito estufa na atmosfera. Para além da geração de energia, a transição energética também envolve o consumo e o reaproveitamento de energia, a gestão de resíduos e a eficiência energética.

A transição energética não é um processo novo, tendo já ocorrido no passado mudanças significativas, como a passagem da madeira para o carvão no século XIX e do carvão para o petróleo no século XX. No entanto, a transição energética atual é diferenciada por ser necessária para proteger o planeta das mudanças climáticas.

No Brasil, a transição energética deve atender a demandas crescentes e garantir o acesso à energia, a sustentabilidade ambiental, a inclusão de gênero, a geração de emprego e custos finais acessíveis.

Sustentabilidade e matemática

 A disciplina matemática e o tema sustentabilidade podem ser muito bem trabalhados pelos docentes da área de exatas. Pois, saber quantificar, calcular e associar o consumo e o impacto ambiental através de dados numéricos é uma possibilidade que pode ser desenvolvida em sala de aula. Saber interpretar e construir gráficos de colunas são outras competências e habilidades presentes na ciência da matemática. Compreender conceitos, estratégias e situações matemáticas numéricas para aplicá-los a situações diversas no contexto das ciências, da tecnologia e da atividade cotidiana se faz necessário. E também, reconhecer, pela leitura de textos apropriados, a importância da Matemática na elaboração de proposta de intervenção solidária na realidade. Dessa forma, conhecer o ambiente em que vivemos, verificar a influência do homem na Natureza e quais ações deverão ser tomadas pensando nas futuras gerações é um despertar para o consumo consciente. O que acarreta como possibilidade o retorno à natureza de recursos utilizados de maneira correta. Conhecer uma conta de luz detalhada, aprender a calcular o consumo mensal de Kwh e diminuir o consumo de energia elétrica através da mudança de hábitos são exemplos cotidianos em que a matemática se faz presente. Relacionar a matemática ao estudo do meio ambiente proporciona através dos números mensurar os prejuízos e projetar soluções, torna a aprendizagem construtiva, podendo se constituir num comportamento cotidiano ou numa ação educativa para formar uma consciência ecológica dentro de indicadores reais. A aprendizagem se torna significativa quando relacionada ao cotidiano do aluno no sentido de mostrar o meio ambiente a que estão inseridos para que possam ser agentes transformadores, através da mudança de hábitos e principalmente desenvolvendo suas habilidades matemáticas. Sendo assim, o processo de ensino aprendizagem matemática-meio ambiente é realizado no sentido de oportunizar o conhecimento do mundo e domínio da natureza, com base nas linguagens matemáticas, criando-se condições de melhorar a capacidade de agir na sociedade, assumindo ações permanentes concentradas em um desenvolvimento sustentável para a continuidade da vida na Terra. Nesse diapasão, é possível desenvolver trabalhos pedagógicos “na trilha da matemática: do raciocínio ao meio-ambiente”. A resolução de situações problemas e assuntos referentes ao meio ambiente fazem com que os alunos tomem os cuidados necessários para com o meio ambiente, aos recursos por ele oferecidos e as consequências das ações errôneas causadas pelo homem.

INTRODUÇÃO 

A proposta dessa pesquisa é observar como a matemática pode ser desenvolvida, a partir da temática ambiental, através de uma implantação interdisciplinar. É uma proposta de trabalho interdisciplinar envolvendo a educação matemática e a sustentabilidade. As dificuldades da Matemática, por sua vez, relacionadas ao seu ensino e aprendizagem, são amplamente reconhecidas pela literatura. Mas com a proposta do presente trabalho, é plenamente possível reconhecer a presença da matemática na vida humana e de que forma ela pode auxiliar no desenvolvimento de um despertar alerta para o meio ambiente. 

É fundamental para um bom desenvolvimento da aprendizagem a relação de absorver e contextualizar pelo aluno o conteúdo com o seu cotidiano. Entretanto, na maioria das vezes o conteúdo trabalhado na ciência matemática é extremamente abstrato e consequentemente se distancia da realidade do aluno. "O currículo de matemática está repleto de conteúdos de alto nível de abstração que não possuem nenhuma ligação com a vida dos alunos. Isso aumenta a dificuldade de compreensão, desestimula e desinteressa os alunos" (ROCHA, 2001). Contrapondo a esse cenário, a matemática deveria ser trabalhada como um instrumento de interpretação da realidade. 

Como norteadora de atividades interdisciplinares, a Educação Ambiental deve então ser vista como um tema transversal, embora o desejável seria que todas as disciplinas tradicionais do currículo pudessem envolver a temática ambiental. Em razão do seu caráter abrangente, as disciplinas são trabalhadas apenas no seu âmbito de cumprimento de determinado material apostilado ou mesmo de determinado plano de ensino específico. 

O termo Educação Ambiental refere-se a problemas tais como: poluição, lixo, desmatamento, buraco na camada de ozônio, entre outros, bem como há problemas de cunho socioeconômico, como a violência, injustiças sociais, fome, mortalidade infantil etc. Todos esses fatores estão relacionados e influenciam-se reciprocamente, contribuindo para o processo de degradação do meio ambiente. 

Pensando na matemática enquanto ciência também formadora de cidadãos, os docentes deveriam formar indivíduos críticos em relação à realidade em que vivem, que pudessem contribuir com o desenvolvimento sustentável e enxergassem a matemática como algo significativo em suas vidas. 

Nesse sentido segue abaixo a visão dada pela Unesco: "o desenvolvimento sustentável exige uma mudança global no modo de funcionamento da sociedade" (UNESCO, 1999:67). Tem profundas implicações nas maneiras pelas quais a educação ambiental deve ser conduzida, apresentando desafios tanto aos professores como aos pesquisadores da área. A Educação Ambiental precisa estar voltada para o desenvolvimento sustentável, visando desenvolver valores, crenças e ações relacionados ao uso racional dos recursos naturais, bem como a permanência constante destes recursos em nosso Planeta.

 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO TEMA

Partindo da visão que a natureza e a matemática possuem possibilidades infinitas, é perfeitamente produtivo desenvolver atividades acadêmicas com o intuito de relacionar educação ambiental e matemática. As disciplinas não se isolam no contexto teórico. O conhecimento é construído gradativamente. É preciso dar ênfase então ao ensino interdisciplinar. Nesse sentido (SEVERINO, 2007, p.43) destaca: “o domínio do conhecimento mesmo quando especializado, se dá sempre de forma interdisciplinar. A interdisciplinaridade é a presença da íntima articulação dos saberes decorrente da complexidade do real a ser conhecido.”

Atualmente já se fala até mesmo em transversalidade entre as ciências. O que pode ser bem visualizado no Plano Curricular Nacional ao tratar da temática Educação Ambiental. Segundo esta definição, a Educação Ambiental é "uma dimensão dada ao conteúdo e à prática da educação, orientada para a resolução de problemas concretos do meio ambiente por intermédio de enfoques interdisciplinares e de uma participação ativa e responsável de cada indivíduo e da coletividade." (PCN’s - Temas Transversais,1998:229). A importância de se trabalhar o tema Educação Ambiental se faz presente, pois permeia uma leitura crítica da realidade, sendo educadores ambientais atuantes nos processos de construção de conhecimento, pesquisa e intervenção cidadã com base em valores voltados à sustentabilidade da vida em suas múltiplas dimensões. 

A percepção de que a função da Matemática escolar é preparar o cidadão para uma atuação na sociedade em que vive. De acordo com a Lei nº 9394/96 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, em seu artigo 22, estabelece que: “A educação tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar- lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornece-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores”. 

* Importante deixar claro que, para a Educação Básica, não se pretende a inclusão desta temática transversal como “disciplina curricular” (até mesmo porque o artigo 10, §1º, da Lei 9.795/99 não autoriza este tipo de inserção). Ao contrário, o que se pretende é fortalecer a sua característica interdisciplinar, para que a Educação Ambiental possa continuar perpassando e avançando nas modalidades educativas e ramos científicos – mantendo um vínculo comum e verdadeiramente conexo com elas, respeitando-se sempre a liberdade da comunidade escolar para construir o conteúdo pedagógico a ser desenvolvido. 

* A Educação Ambiental, em seu trato multi, transdisciplinar e interdisciplinar tem a preocupação com uma metodologia que deve seguir diretrizes básicas nacionais, de forma a ampliar o debate e o aprimoramento conceituais nas instituições de ensino, dando espaço para a inserção da dimensão ambiental nos currículos escolares e no projeto Político-Pedagógico, promovendo a revisão teórica e avaliação da práxis pedagógica. 

OBJETIVOS 

A ideia principal da presente pesquisa é aprofundar a compreensão sobre a relação entre Educação Matemática e Educação Ambiental. A matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente. A seleção e a organização de conteúdos não devem ter como critério único a lógica interna da matemática. Deve-se levar em conta sua relevância social e a contribuição para o desenvolvimento intelectual do aluno. Trata-se de um processo permanente de construção. 

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, uma formação básica para a cidadania consiste em criar meios para que os estudantes estejam preparados para o mundo do trabalho, para as relações sociais e da cultura, no âmbito de nossa sociedade. A diversidade cultural da qual o estudante brasileiro faz parte, exige uma educação matemática com características particulares. Esses estudantes trazem consigo, para a escola, diferentes experiências, ideias, intuições, conhecimentos que foram construídos ao longo de suas vidas, por meio de experiências próprias, adquiridas nos ambientes que frequentam. 

Usar-se-á a natureza para associar os conhecimentos matemáticos e fazer com que os alunos vivenciem na prática tais conceitos, assim serão trabalhados os elementos emocionais e motores, não somente o cognitivo. O desempenho de tal proposta pedagógica promoverá a expansão do conhecimento dos alunos, ampliará seus horizontes e sua visão de mundo. Além de oportunizar meios para que os alunos desenvolvam seu raciocínio-lógico e sua criatividade. 

O que trará subsídios para facilitar a resolução de diversos problemas existentes devido a gama de fatores que envolvem o meio ambiente. Assim, despertará no aluno o interesse pelo meio ambiente e a importância de sua preservação. 

METODOLOGIA 

A proposta metodológica busca a interdisciplinaridade. Será que a aprendizagem de matemática também poderia ser beneficiada pelo enfoque interdisciplinar introduzido por sua relação com a Educação Ambiental? A aprendizagem e ensino dos conteúdos matemáticos poderiam ser trabalhados a partir de temas ambientais para que pudessem ser contextualizados e ter um significado maior para os alunos? De um modo geral, quais os benefícios de um trabalho interdisciplinar envolvendo a Matemática e a Educação Ambiental? Através da “matematização”, as questões ambientais poderiam ser melhores avaliadas e compreendidas? Tentando responder tais questionamentos, deve-se abandonar uma metodologia passiva, repetitiva ou alienante da matemática e da educação ambiental. Fazer com que o aluno passe a ser sujeito interativo do processo, os conteúdos devem ser significativos e as atividades desafiadoras, estimuladoras e atrativas. A forma de se trabalhar a educação ambiental na matemática é através de problemas e exercícios de reflexão.

Abaixo seguem exemplos de como poderia ser explorado as questões sobre água, isto é, aeconomia de um elemento presente na natureza tão vital á vida humana, mas que infelizmente, as pessoas não se deram conta que é finito. Outro mote é a energia elétrica, que envolve o consumo, as questões financeiras e econômicas dentre outros aspectos. Finalmente outro tema que pode ser objeto do estudo são as florestas, tão importantes e significativas para o mundo animal. Nesse diapasão, segue os problemas matemáticos: Paulo tem, em sua casa, uma banheira com a forma de um paralelepípedo retângulo cujas medidas internas são: 1,6m de comprimento, 50 cm de largura e 45 cm de altura. Questionamentos sobre o problema apresentado: Quantos litros de água cabem na banheira? Se, para tomar um banho deve-se encher a banheira com 30 cm de altura de água, quantos litros de água deve conter a banheira para um banho? Se cada m3 de água custa R$ 12,00, quanto uma pessoa pagará por um banho? Paulo não se preocupa com a necessidade de economizar água, toma dois banhos por dia e sempre que vai tomar o seu banho enche a banheira até quase a borda, deixando livre apenas 5 cm que seria o volume que ele considera ocupado pelo seu corpo. Qual o volume de água desperdiçado por Paulo em cada banho? Quanto ele paga por um banho? Quantos litros de água Paulo desperdiça em um mês (30 dias)? Quanto Paulo deixa de economizar, em reais, por mês? Neste primeiro exercício são trabalhados temas de grande importância no estudo da matemática básica e que despertam a atenção do aluno pela sua curiosidade e aplicabilidade. O exercício envolve transformações de unidades, cálculo do volume de sólidos, explora as quatro operações aritméticas; adição, subtração, multiplicação e divisão e desenvolve o raciocínio lógico na interpretação, montagem e resolução do problema. Veja a resolução: Este sólido é o paralelepípedo retângulo, ele possui seis faces retangulares sendo as faces opostas congruentes. Esta será a representação da banheira da casa de Paulo.

O volume de água necessário para encher a banheira equivale ao volume da banheira, ou seja, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 1,6m, 50cm e 45cm. Podemos notar que as dimensões estão em unidades diferentes, por isso, devemos inicialmente converte-las a uma mesma unidade. Analisando os questionamentos do problema podemos notar que são solicitados valores em litros e em metros cúbicos (cabe aí um trabalho com as unidades de medida e suas transformações). Vamos expressar as dimensões em metros: 

- C = 1,6 m 

- L = 50 cm ou 0,50 m 

- h = 45 cm ou 0,45 m 

Calculamos inicialmente volume de água na banheira: 

- V = c * L * h 

- V = 1,6 * 0,5 * 0,45 

- V = 0,36 m3 

Lembrando que 1m3 equivale 1000L (assunto já estudado), podemos concluir que na banheira cabem 0,36 * 1000 = 360 litros de água.  V = 360 litros 

Se para tomar um banho deve-se encher a banheira com 30 cm de altura de água, temos que o volume de água necessário para um banho será: 

- V = c * L * h 

- V = 1,6 * 0,5 * 0,3 

- V = 0,24 m3 ou 240L 

- V = 240L 

Sendo R$ 12,00 o custo de 1 m3 de água, vamos determinar o custo de um banho: 

- Custo = 0,24 * 12,00 

- Custo = R$ 2,88 

Como Paulo gosta de desperdiçar água, enchendo a banheira além do necessário, o volume de água consumido em cada banho de Paulo pode ser assim obtido: 

- V = c * L * h 

- V = 1,6 * 0,5 * 0,40 

- V = 0,32 m3 ou 320L 

- V = 320L 

Se o necessário para o banho seriam 240L, há aí um desperdício de: 320 – 240 = 80L de água. Desperdício de 80 litros de água por banho. O custo de cada banho de Paulo seria 0,32 * 12,00 = 3,84 C = R$ 3,84 

Como Paulo tem o hábito de tomar dois banhos por dia, em 30 dias serão 60 banhos. Como já vimos anteriormente, ele desperdiça 80L em cada banho, totalizando um desperdício de água equivalente a 60 * 80 = 4800L. Desperdício de 4800 litros de água em um mês. 

Se Paulo usasse apenas a quantidade necessária de água para um banho ele gastaria, em seus dois banhos diários, um valor mensal equivalente a: 2,88 * 60 = R$ 172,80. Mas não é o que acontece, ele prefere o banho com um volume de água igual a 0,32m3 , o que lhe custa R$ 3,84 cada banho. Em um mês, de 30 dias, o seu gasto com os dois banhos diários será de: 3,84 * 60 = 230,40, deixando de economizar a quantia de: 230,40 – 172,80 = 57,60. Paulo deixa de economizar R$ 57,60 ao mês. 

 Um outro exemplo seria: o consumo de energia elétrica de uma casa é calculado pela fórmula: K = t * P  dividido por 1000, onde K: quilowatt hora; t: tempo em que o produto permanece ligado, P: potência do aparelho. Um televisor de 29 polegadas possui uma potência de 200 watts. Considerando que ele fique ligado por 8 horas diárias, calcule: seu consumo mensal, em kwh. Uma pessoa que possui um televisor como esse e que tem o hábito de deixa-lo ligado enquanto dorme, só desligando pela manhã, quantos kwh, aproximadamente, essa pessoa desperdiça por mês, se ela dorme, em média, 7 horas por refletir sobre o assunto e propor mudanças de comportamento que trariam grandes benefícios ao meio ambiente. Matematicamente podemos comprovar essa afirmação. Um televisor de 29 polegadas, com uma potência de 200watts, em 8 horas consumiria o equivalente a: 

Se uma pessoa deixa o televisor ligado durante suas 7 horas diárias de sono ela estaria consumindo, desnecessariamente, o equivalente a:

Um consumo desnecessário de 1,4 kwh de energia elétrica, diariamente, equivale a um desperdício mensal de: 1,4 * 30 = 42 kwh. 

Outro fator que vem preocupando os ambientalistas é a exploração desordenada de nossas florestas. O nosso pulmão do mundo está ficando cada vez mais devastado. É preciso socorrer nossas matas. Convidamos nossos alunos a refletir sobre o problema resolvendo o nosso terceiro exercício. Nele estaremos trabalhando o conceito de porcentagem e pensando no desenvolvimento sustentável. Imagine uma floresta que tenha 100 metros cúbicos de madeira em pé, ou seja, em árvores. Agora imagine que esta floresta aumente, pelo crescimento natural das árvores, 8% ao ano. Qual o total de madeira disponível, nessa floresta, após um ano? Para que a exploração dessa madeira ocorra de forma sustentável, quantos metros cúbicos, no máximo, podem ser extraídos, anualmente, de modo a não trazer prejuízos ao meio ambiente? Como 1% equivale a 1 em cada 100, uma floresta que tem 100m3 de madeira em pé e cresce à razão de 8% ao ano, após um ano a floresta terá o equivalente a 108m3 de madeira. Para que não acarrete prejuízos ao meio ambiente, a exploração anual dessa madeira não poderá exceder a 8m3 , quantia que corresponde ao ganho anual, conservando assim, a quantidade existente anteriormente, descartando o risco de extinção da floresta. 

CONCLUSÃO 

Os objetivos deste projeto são desenvolver a Educação Matemática a partir de atividades interdisciplinares partindo da temática ambiental e sensibilizar os estudantes quanto ao uso racional dos recursos naturais. Através de uma educação inovadora que visa a formação de pessoas críticas e transformadoras da realidade em que vivem, pode-se ter o caminho para que o mundo seja mais solidário e melhor de se viver. 

De acordo com a concepção de sustentabilidade disseminada no século XXl, é de suma importância convidar o aluno a ter um posicionamento crítico de idéias e atitudes sobre o assunto.Assim nessa construção de uma sociedade sustentável, a matemática pode ser um dos instrumentos na construção da cidadania. Ela é componente essencial nessa obra na qual a sociedade se utiliza de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

BRASIL. Lei 9394/96. Diretrizes e Bases da Educação Nacional. 

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática & implicações no ensino aprendizagem de matemática. Blumenau, SC: FURB, 1999. 

D'AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas, São Paulo: Papirus, 1996. 

GROENWALD, Claudia Lisete O. Educação Matemática de 5ª a 8ª séries do 1º grau: uma abordagem construtivista. CAESURA, ULBRA, Canoas, 1998. 

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade Diretoria de Educação Integral, Direitos Humanos e Cidadania CoordenaçãoGeral de Educação Ambiental Disponível em:< http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/publicacao13.pdf >. Acessado em: 18 jul 2015. 

SEVERINO, Antônio Joaquim. Metodologia do trabalho científico. 23.ed. São Paulo: Cortez, 2007. 

YUS, R. Temas Transversais: em busca de uma Nova Escola. Porto Alegre: ARTMED, 1998. 

ZEPPONE, Rosimeire M. O. Educação ambiental: teoria e práticas escolares. São Paulo: J M editora, 2000. 

 

O triângulo de Pascal e divisões com polinômios

 

Blaise Pascal, pintura de autor anônimo, executada por volta de 1690.

O triângulo aritmético é certamente um dos objetos mais familiares na história da matemática, sendo atualmente mais conhecido como triângulo de Pascal, em homenagem ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662) que publicou os resultados de seus estudos nesta área na obra Traité du triangle arithmétique, em 1.653. O triângulo aritmético recebe o seu nome porque foi Pascal quem mais contribuiu na generalização de resultados já conhecidos, bem como apresentou novas propriedades, formuladas em um total de dezenove teoremas.

Fragmento do livro Traité du triangle arithmétique, de Blaise Pascal, destacando-se o triângulo aritmético, que hoje leva o seu nome.

Pascal foi uma criança prodígio, educado pelo pai – um coletor de impostos na cidade francesa de Rouen (a mesma onde Joana D’Arc morreu). Em 1.642, contando apenas 19 anos, Pascal iniciou um trabalho pioneiro projetando uma máquina de calcular, com a intenção de auxiliar o pai, que fazia muitas contas em seu trabalho. Após três anos de trabalho e 50 protótipos, ele apresentou sua primeira calculadora mecânica ao público em 1.645. Pascal projetou sua máquina para somar e subtrair dois números diretamente e multiplicar e dividir através de somas ou subtrações sucessivas. Foram produzidas e vendidas cerca de 20 destas máquinas, que posteriormente ficaram conhecidas pelo nome de Pascalinas.

Uma pascalina, a máquina de calcular projetada por Blaise Pascal e assinada pelo próprio.

Fato é que muitos séculos antes o triângulo aritmético já era conhecido, especificamente pelos gregos (com seus números figurados) e pelos hindus (em seus estudos relativos à combinatória e números binomiais). Por volta do século II a.C. o estudioso hindu Pingala já conhecia uma fórmula aditiva para a geração dos coeficientes binomiais que compõem o triângulo, cujo trabalho (do qual somente restam poucos fragmentos) é atestado posteriormente pelo comentarista hindu Varahamihira por volta de 505 d.C., quando fornece uma descrição detalhada da fórmula utilizada por Pingala. Por volta de 850 d.C. o matemático hindu Mahavira desenvolve uma fórmula diferente daquela apresentada por Pingala, utilizando-se da multiplicação para a geração dos coeficientes binomiais. O triângulo aritmético também foi estudados pelos árabes, sendo que o matemático persa Al-Karaji (953 a 1.029 d.C.) é o primeiro a fazer referência a ele; esse objeto matemático será abordado novamente pelo matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam.

O triângulo de Pascal, num texto árabe de 1.228 atribuído ao matemático Ibn Munim.

O triângulo aritmético também era conhecido na China no início do século XI d.C., quando aparece na obra Shi Suo Suan Shu – infelizmente perdida – do matemático chinês Jia Xian (1.010 a 1.070). Posteriormente, no século XIII, o matemático Yang Hui (1.238 a 1.298) apresenta o triângulo aritmético em sua obra Xiangjie Jiuzhang Suanfa, fazendo referência ao trabalho de Jia Xian.

O triângulo de Pascal composto por numerais de varas, conforme descrito em uma publicação do matemático chinês Zhu Shijie em 1.303. O título da página, traduzido, é: o antigo método gráfico dos sete quadrados multiplicadores.

A construção manual de um triângulo aritmético é bastante simples: tomando como base a ilustração do matemático Zhu Shijie, a primeira linha, que formará o topo do triângulo, terá uma única célula, cujo valor é 1; e cada linha subjacente terá, em seus extremos, células contendo o número 1 e células entre os extremos contendo o resultado da soma do valor das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente. Bom, mais fácil mostrar que falar! Comece então o triângulo com a primeira célula, contendo o valor 1:

Agora, na linha subjacente, as células (que se encontram ambas nos extremos) conterão o valor 1:

Na terceira linha, temos as células nos extremos com o valor 1:

E a célula intermediária conterá a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente, resultando no valor 2:

Na quarta linha o procedimento é o mesmo, com as células nos extremos assumindo o valor 1:

E as células intermediárias conterão a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente: para a primeira célula intermediária seu valor será a soma das células com os valores 1 e 2, resultando 3. E para a segunda célula intermediária seu valor será a soma das células contendo os números 2 e 1, também resultando 3:

Seguindo esta mesma linha de raciocínio, teremos para a quinta linha o seguinte resultado:

O resultado para as próximas seis linhas será:

Coeficientes binomiais são os termos de uma expressão binomial, que por sua vez é a soma, ou diferença, entre esses termos. Por exemplo:

$$x+2$$

$$3y+5z$$

$$a-b$$

São todas expressões binomiais, cada uma contendo dois termos distintos. Quando elevamos uma expressão binomial a certa potência, há duas maneiras de expandí-la: uma é pela multiplicação sucessiva da expressão por ela mesma e outra é utilizando-se de um triângulo aritmético. Por exemplo, considere a expressão abaixo:

$${(a-b)}^3$$

Calculando manualmente a potenciação deste binômio, temos:

$${(a-b)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)$$

$${(a-b)}^3=(a^2-2ab+b^2)\times (a-b)$$

$${(a-b)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Observe: o primeiro termo do binômio expandido, a, começa com a máxima potência (cubo) e vai decrescendo de uma potência a cada novo coeficiente até chegar à unidade no último termo:

$$a^0{b}^3=1b^3=b^3$$

Por outro lado, o segundo termo, b, começa com a mínima potência (unidade) e vai crescendo até à máxima potência a cada novo coeficiente. Como o binômio consiste numa subtração entre seus dois termos, a expressão expandida contém coeficientes positivos e negativos, alternadamente. Saber o “jeitão” do binômio expandido é importante, pois quando utilizamos o triângulo de Pascal para obter essa mesma expressão, o que temos são apenas os valores numéricos multiplicados aos coeficientes; já as potências de cada coeficiente e se eles serão positivos ou negativos dependerá da expressão binomial original. Por exemplo, considere o binômio abaixo:

$${(3y-2z)}^4$$

Para saber como resulta este binômio expandido usando o triângulo aritmético, observamos o valor da potência: a correspondente linha do triângulo contém os valores dos coeficientes que serão multiplicados pelos termos do binômio. Assim, da quinta linha, temos:

E o binômio expandido ficará:

$$\left[{\left(3y\right)}^4{\left(2z\right)}^0\right]-4\left[{\left(3y\right)}^3{\left(2z\right)}^1\right]+6\left[{\left(3y\right)}^2{\left(2z\right)}^2\right]-4\left[{\left(3y\right)}^1{\left(2z\right)}^3\right]+\left[{\left(3z\right)}^0{\left(2z\right)}^4\right]$$

$$81y^4-216y^{3}z+216y^{2}z2-96y{z}^3+16z^4$$

Como o binômio original consiste numa subtração entre seus dois termos, os coeficientes da expansão são positivos e negativos, alternadamente. Se o binômio original fosse uma soma, todos os coeficientes da expansão seriam positivos. O triângulo aritmético possui algumas características bem interessantes, por exemplo: a soma das células de uma linha corresponde a uma potência de 2:

$$Linha=2^n$$

Observe:

Obtenção de potências de 2 a partir da soma das células de uma linha.

O triângulo aritmético também gera a sequência de Fibonacci, através da soma de suas linhas diagonais, conforme esquematizado em vermelho, a seguir:

Obtenção da sequência de Fibonacci a partir do triângulo de Pascal.

Se pintarmos de preto os elementos ímpares e de branco os elementos pares, o triângulo de Pascal assemelhar-se-á ao fractal conhecido como triângulo de Sierpinski. Esta semelhança torna-se mais precisa à medida que mais linhas do triângulo de Pascal são utilizadas; no limite, quando a quantidade de linhas tende a infinito, o padrão resultante no triângulo de Pascal torna-se de fato em um fractal de Sierpinski. De modo genérico, os números podem ser coloridos por outros parâmetros que não pares e ímpares, por exemplo, se são múltiplos de 3, 4, etc., resultando em outros padrões similares, mas todos gerando triângulos de Sierpinski. A figura a seguir mostra um triângulo de Pascal onde os números ímpares foram pintados de preto e os pares de branco, em um total de 31 linhas.

Triângulo de Pascal com números ímpares pintados de preto e pares pintados de branco. Observe a formação do padrão fractal de Sierpinski.

Este capítulo não estaria completo, e de resto toda a álgebra, se não o finalizássemos falando de um matemático árabe, neste caso de al-Samawal (1.130 a 1.180 d.C.). Ibn Yahya al-Maghribi al-Samawal nasceu em Bagdá e, apesar de pertencer a uma família judia, converteu-se ao islamismo em 1.163 depois de ter um sonho que lhe dizia para fazê-lo. Além de matemático, foi também astrônomo e um médico popular, tendo viajado por regiões hoje pertencentes ao Irã para tratar de seus pacientes, que incluíam príncipes. Escreveu um tratado matemático denominado Al-Bahir fi'l-jabr (O brilhante livro de cálculo), onde fornece as regras de sinais ao criar os conceitos de números positivos (excessos) e negativos (deficiências). Forneceu também regras para subtração de potências, como abaixo:

	$$(-a{x}^n)-(-b{x}^n)=-(a{x}^n-b{x}^n)$$	Se a > b
	$$(-a{x}^n)-(-b{x}^n)=+(b{x}^n-a{x}^n)$$	Se a < b

Al-Samawal também descobriu e forneceu exemplos de divisão entre polinômios complexos. Seu primeiro exemplo mostra como resolver a divisão:

$$\frac{20x^6+2x^5+58x^4+75x^3+125x^2+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^3+5x+5+10x^{-1}}$$

Para resolver esta divisão al-Samawal fazia uso de um quadro, tendo na primeira linha – abaixo, em amarelo – os nomes das  potências em ordem decrescente; na linha seguinte – em azul – vinha o quociente (resultado da divisão) e na terceira linha – em branco – o dividendo (o polinômio que sofre a divisão); o divisor fica abaixo do dividendo, iniciando na mesma posição da maior potência do dividendo (ainda que a potência do divisor não bata) e preenchendo com zeros a colunas cuja potência é nula, conforme abaixo:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Al-Samawal começa dividindo 20x⁶ por 2x³, resultando 10x³, que é posicionado na respectiva coluna na linha azul:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Em seguida, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo. Deste modo, 10x³ é multiplicado por 2x³ resultando 20x⁶, que subtraído de 20x⁶ dá zero. Em seguida, 10x³ é multiplicado por zero que dá zero, que subtraído de 2x⁵ resulta 2x⁵; e assim sucessivamente seguindo este raciocínio para cada coluna, obtemos:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2	8	25	25	96	94	140	50	90	20

Finalizada esta etapa temos um novo dividendo, que é o que restou da divisão anterior. Mais uma vez, posicionamos na maior potência deste novo divisor o dividendo. Observe:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Em seguida, procedemos à divisão de 2 por 2, cujo resultado é 1, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do primeiro quociente:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado no passo anterior:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8	20	20	86	94	140	50	90	20

Na última linha temos o novo dividendo, após o resultado desta nova divisão. Seguindo o procedimento indicado, o divisor é posicionado abaixo do dividendo, começando pela maior potência:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0

Agora, procedemos à divisão de 8 por 2, cujo resultado é 4, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do segundo quociente:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0

Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado nos passos anteriores:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0
		4	20	0	66	54	140	50	90	20

Repetindo esta sequência tantas vezes quantas forem possíveis, temos o resultado final indicado no quadro abaixo, completo:

x6	x5	x4	x3	x2	x1	x0	x-1	x-2	x-3	x-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4	10	0	8	2
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0
		0	20 2	0 0	66 5	54 5	140 10	50 0	90 0	20 0
			0	0 2	16 0	4 5	40 5	50 10	90 0	20 0
				0	16 2	4 0	40 5	50 5	90 10	20 0
					0	4 2	0 0	10 5	10 5	20 10
						0	0	0	0	0

Ou seja, o resultado da divisão dos polinômios longos:

$$\frac{20x^6+2x^5+58x^4+75x^3+125x^2+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^3+5x+5+10x^{-1}}$$

Resulta exata e igual ao quociente obtido na linha azul com suas respectivas potências:

$$10x^3+1x^2+4x+10+8x^{-2}+2x^3$$

Esta descoberta de al-Samawal para a divisão de polinômios representou um avanço significativo e uma grande contribuição à álgebra de seu tempo. Apesar da aparente frivolidade, muito esforço e aplicação prática nula, isto não é uma verdade: por exemplo, a divisão de polinômios é fartamente encontrada como resultado do projeto e construção de filtros eletrônicos analógicos ou digitais de áudio (para a aplicação de efeitos sonoros os mais diversos) e vídeo (aplicação de efeitos visuais) que são, afinal, recursos de extrema importância na criação de conteúdo midiático.

Referências bibliográficas:

[1]	Rogers, E. “Islamic mathematics”, MATH 390: Islamic Mathematics, Univesity of Illinois at Urbana-Champaign, August 2008.
[2]	Wikipedia, “Pascal’s triangle”, acessado em Fevereiro/2018. Site: https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle.
[3]	Weisstein, E. W. "Figurate Number" From MathWorld. Acessado em Abril/2018. Site: http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html