A Espiral de Arquímedes

Esta curva foi descoberta pelo matemático e astrónomo grego Conon, nascido, cerca de 280 a.C. na mesma ilha de Samos onde nascera Pitágoras trezentos anos antes. Arquimedes (287, 212 a.C.; filho do astrónomo Fídias) viveu e morreu em Siracusa, Sícilia – então parte da Grécia – mas estudou em Alexandria.

Nesta cidade foi contemporâneo e amigo de Conon, por quem tinha muita consideração como matemático. Comunicoulhe alguns resultados – sem demonstração – sobre a espiral e escreveu, no início do tratado Sobre as Espirais, que Conon tinha morrido antes de ter tido tempo suficiente para estudálos, senão tê-los-ia certamente descoberto e demonstrado. No referido tratado, Arquimedes descreve a curva espiral nos seguintes termos:

Se uma semi-reta traçada num plano roda, em torno da sua origem, num movimento uniforme, voltando à posição de que partiu e se, ao mesmo tempo que a semi-recta roda, um ponto sobre a semi-recta se afasta dessa origem com velocidade constante, esse ponto descreverá uma espiral no plano.

Ao longo dos tempos, a noção de espiral foi adquirindo contornos mais amplos, nomeadamente ao admitir outras relações matemáticas entre os dois movimentos, que na espiral de Arquimedes são ambos de velocidade constante.

TRAÇADO DA ESPIRAL

Começamos por construir a semi-reta 01 e será sobre essa semi-reta que construiremos o parâmetro t. Tenha o cuidado de, nas preferências do GSP, escolher como unidade de medida dos ângulos o radiano. Certifique-se além disso, no menu Graph:Grid Form, que está na versão Square Grid (embora a grid esteja escondida).

Vejamos então os passos que temos a dar para, no GSP, traçar a espiral (figura 1):

(1) – medimos o valor de t: menu measure, comando abcissa(x); obtemos= 2.23 (no caso da figura);

(2) – na calculadora do programa, multiplicamos rt por 1 radiano: menu Number:Calculate; obtemos t = (xt.1 radians) = 2.23 radians (no caso da figura);

(3) – arrastando t na semi-recta s, vemos os valores xt e t a variar;

(4) – seleccionar a semi-recta s e efectuar uma rotação de t radianos em torno de 0, obtendo s´;

(5) – construa P, imagem da rotação de t, de centro em 0 e ângulo t radianos; naturalmente, P pertence a s´;

(6) – arraste t sobre s, e observe o movimento de P;

(7) –note que desta forma construiu um ponto P que está sobre a semi-recta inicial s rodada de 2.23 radianos e simultaneamente se afasta em velocidade uniforme da origem, estando agora a uma distância de 2.23; ou seja, o lugar geométrico traçado por P, quando t descreve a semi-recta 01, é uma espiral de

Arquimedes!

(8) – para traçar concretamente a espiral, basta seleccionar t e P e utilizar o comando Construct:Locus.

Nota: As semi-rectas s e s´ não são essenciais na construção, servem apenas como referência à definição de Arquimedes.

VARIAÇÕES DA FORMA DA ESPIRAL

Primeira variante. Note-se que na espiral da figura 1 os pontos t e P afastam-se da origem 0 à mesma velocidade... Mas, na definição de espiral de Arquimedes, exige-se apenas que os movimentos sejam uniformes, ou seja, a velocidade constante, mas não necessariamente iguais. Para ver que formas tomam as espirais em que as velocidades não sejam iguais, consideremos as constantes positivas b e c, em que b<1 e c>1. Vamos construir duas espirais, a esp.b e a esp.c, em que o ponto Pb é resultado da rotação de t radianos do ponto b.t (ou seja, a sua velocidade de afastamento de 0 é menor do que a de t) e o ponto Pc é resultado da rotação de t radianos do ponto c.t ( portanto, a velocidade de afastamento de Pc é maior do que a de t). A figura 2 mostra as formas que tomam as espirais resultantes dos movimentos de Pb e de Pc , respectivamente

Segunda variante. Na definição de Arquimedes também não se exige que o ponto P inicie o seu movimento no ponto 0, como o ponto t. Se marcarmos um ponto a sobre a reta s (como na figura 3) e depois, efectuarmos a rotação (de ângulo t radianos) do ponto a+t (em vez do ponto t, como no caso
inicial), obtendo o ponto Pa , podemos traçar a espiral esp.a, “paralela”, por assim dizer, à primeira espiral, mas partindo do ponto a.

A TRISECÇÃO DO ÂNGULO COM A ESPIRAL DE ARQUIMEDES

Enquanto a divisão de um ângulo em dois ângulos iguais tem uma resolução simples com compasso e régua não graduada, a trisecção é um problema impossível se apenas podemos utilizar estes dois instrumentos. Os matemáticos gregos já tinham essa convicção – embora a demonstração apenas tivesse sifo feita no séc. XIX... – e portanto procuraram outros meios de resolver esse problema, que juntamente com a quadratura do círculo e a duplicação do cubo constituem os célebres três problemas clássicos da geometria grega.

Arquimedes demonstrou, no tratado Sobre as Espirais, como a sua espiral podia resolver o problema. Na sua tese de mestrado, J. M. Rodrigues de Sousa mostra em detalhe essa solução. Vejamos em que termos faz Arquimedes essa demonstração. Seja A0B o ângulo a trissectar (figura 4) e seja a curva traçada pelo ponto P uma espiral de Arquimedes qualquer, apenas se exige que o ponto de partida seja o ponto 0. Consideremos o ponto de intersecção C da semi-recta 0B com a espiral.

Seja D um ponto sobre 0B tal que o segmento 0D tenha por medida 1/3 da medida de 0C – o ponto D é constructível com
régua e compasso, como o leitor pode confirmar (partindo da proposição 2, livro VI, de Euclides). Seja E o ponto de intersecção da circunferência de centro 0 e raio 0D com a espiral. Como a espiral é de Arquimedes, o movimento da semirecta em torno de 0 (desde 0A até 0B), tal como o do ponto P, sobre ela (desde 0 até C), que a vai traçar, são uniformes.

Ou seja, quando o ponto P percorreu 1/3 da distância 0C, e está portanto sobre E, a semi-recta 0A está sobre 0E e percorreu um terço do ângulo AOB. Portanto, ∠A0B/∠A0E = 3, como pretendíamos.

A ESPIRAL E OS CARRINHOS DE LINHAS

A minha mãe (tal como as trisavós dos meus leitores...) usava uma máquina de costura na qual a espiral de Arquimedes servia para os carrinhos de linhas serem bem comportados... Se não temos cuidado ao tentar enrolar automaticamente uma linha num chamado carrinho de linhas, o resultado será que a linha não fica uniformemente distribuída em toda a largura do carrinho, tendo tendência para se acumular
nas extremidades. A espiral de Arquimedes resolve esse problema... vejamos como. A figura 5 mostra uma dessas máquinas de costura e, na figura 6, a peça que nos importa

comentar. Vamos esquematizar essa peça na figura 7. O que o fabricante pretendia era uma parte da sua máquina de costura que enrolasse fio num carrinho de linhas. Mas pretendia que a haste L alimentadora do carrinho tivesse um movimento horizontal uniforme, para que o carrinho não ficasse com mais fio em certas zonas. Bom, movimento uniforme provocado por um movimento circular (como muitos que já existiam na máquina de costura) tinha que ser com uma espiral de Arquimedes, pensou o artífice...! Vai daí, como se pode ver no esquema da figura 7, inventou uma nova haste – a haste K – que era movida para a esquerda e para a direita num movimento uniforme, já que era empurrada e puxada por uma espiral de Arquimedes e pela sua simétrica, ao rodarem em torno do ponto 0.

Reforçando: 

A espiral de Arquimedes é uma curva descrita por um ponto que se desloca com uma velocidade uniforme ao longo de uma semi-recta, a partir da origem, que roda, com uma velocidade angular uniforme, em torno da origem.

A origem da semi-recta é o pólo da espiral; a distância de um ponto da espiral ao pólo é o raio vector desse ponto. Os ângulos de rotação são os ângulos polares que se contam a partir de uma posição inicial da semi-recta, designada por eixo polar, de zero para infinito. A cada valor do ângulo polar q corresponde um valor para o raio vector r.

As espirais destinguem-se segundo a relação que liga o raio vector com o ângulo polar. No caso da espiral de Arquimedes, esta relação é expressa pela equação r = a q. Neste caso, o raio vector varia proporcionalmente ao ângulo polar.

Mais informações sobre a Espiral de Arquimedes:

A espiral de Arquímedes, uma invenção chave da antiga Grécia, resolve o problema de levantar líquidos por meio de uma espiral dentro de um tubo, girando para elevar o líquido de um nível baixo até um mais alto. Além da tradição atribuída a Arquimedes, estudos recentes sugerem que você seja utilizado na Babilônia para irrigação, e que Arquímedes pode ter aperfeiçoado seu design. Este dispositivo, impulsionado pela energia manual, animal ou mecânica, foi fundamental na história da ciência, com figuras como Galileu Galilei estudando seu funcionamento. Ainda hoje, você utiliza diversas aplicações hidráulicas e energéticas, convertendo a energia cinética gerada por sua rotação em eletricidade, destacando-se não por sua velocidade, mas também por sua capacidade de gerar uma força constante e eficaz.

Antigo método de contagem

É difícil imaginar como foi introduzido o conceito de "número" no mundo antigo. Com o rendimento da pesca, do cultivo, da caça e das guerras, os povos começaram gradualmente a desenhar sinais, a usar varetas para cálculo, nós e outros métodos de contagem para registar e controlar a quantidade de materiais que possuíam.

Contagem com os Dedos e por Correspondência
Ainda hoje se usam os dedos para contar. Quando os dez dedos das mãos não são suficientes, usam-se simplesmente os dez dedos dos pés. Não sendo esta a melhor solução, as pessoas começaram a usar objectos comuns, tais como pedras, galhos, conchas e similares, para contar, por exemplo, a quantidade de vacas e ovelhas. No entanto, estes métodos de contagem podem ser confusos e não ser fácil de guardar e transportar este tipo de ferramentas.

Contagem por Desenho
Inscrever sinais em madeira, pedras e ossos com o propósito de contar remonta aos tempos pré-históricos. Este método foi registado em inúmera literatura chinesa e estrangeira e alguns objectos originais foram preservados até hoje. Já em 1600 a.C. a 1100 a.C., inscrições de contagem figuravam em ossos de oráculo na China. Os Sumérios inventaram uma maneira de usar argila para guardar informações numéricas, ligando pequenos pedaços de argila de diferentes formas com cordas. Mais tarde, usaram sinais numéricos em blocos de argila, que depois de cozidos formavam placas de registo permanente de contagens. No antigo período Babilônico, as pessoas usavam estiletes para gravar símbolos cuneiformes em placas de argila e, gradualmente, desenvolveram o sistema sexagesimal.

Cálculo com Varetas e Vareta de Cálculo
A divinação era amplamente praticada na China durante a Dinastia Shang. Eram usadas varetas para contagem, sendo este o tipo de vareta de cálculo mais antigo. As varetas de cálculo eram comummente usadas durante os períodos de guerra. Os caracteres "Chou" e "Suan" têm o radical "bambu" pois a maioria das varetas era feita deste material. No entanto, havia também feitas em madeira, osso, marfim, etc. Uma das vantagens das varetas de cálculo era a sua portabilidade. As pessoas podiam facilmente utilizá-las em qualquer lugar a qualquer momento. O cálculo com vareta é o método que usa varetas para contagem. A forma de colocar as varetas assume significados diferentes. As varetas na vertical representam as unidades, centenas e as dezenas de milhar, enquanto asvaretas na horizontal representam as dezenas, milhares e as centenas de milhar. Este é um tipo de ferramenta de cálculo do sistema decimal.

Manutenção de Registos através de Nós
No Zhou Yi - Xi Ci Xia da China está registado o uso de nós para armazenamento de registos e governação. Como explica Yu Fan, do Estado de Wu, os nós grandes significam grandes eventos, enquanto os pequenos indicam eventos do quotidiano; já a quantidade de nós indica o número de eventos. Na América do Sul, os Incas também guardavam registos através do uso de nós, conhecidos como Quipus. Cada Quipus consiste num cordão principal, ao qual se ata um número indeterminado de cordas com nós, e ao qual se vão adicionando outras cordas em intervalos regulares. Como provou L. Leland Locke, historiador de ciência, em 1923, o Quipus usa um sistema decimal. A parte mais baixa de cada corda representa as unidades, enquanto a parte superior representa as dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Portanto, é uma espécie de ferramenta de cálculo feita atando nós.

Sugestão de atividade
O mensageiro Inca está segurando um Quipus. Com base em numerosas pesquisas foi possível concluir que os tipos, posições, direcções, séries, cores e espaçamento dos nós correspondem a uma determinada quantidade de objectos. Além do registo de colheitas, impostos, população e outras informações, o Quipus também era usado para registar o número anual de sacrifícios humanos.

Sabia que?
Os povos antigos geralmente transportavam as varetas de cálculo em sacos ou estojos. Durante a Dinastia Tang, os funcionários do governo eram obrigados a carregar sacos com as suas varetas de cálculo, para que as suas tomadas de decisão fossem mais científicas.

Quebra-cabeça torre de hanói

Para conseguir a atenção dos alunos vemos que muitas vezes é necessário esquecer a postura tradicional na qual, em determinado momento o conteúdo apresentado no quadro para em seguida serem sedimentados por meios de exercícios.

Transformar as aulas de Matemática em momentos estimulantes onde alunos e professores possam interagir num ambiente propicio à discursões que facilite na tomada de decisões e resoluções em diversas situações-problema, exigem um conhecimento das condições socioculturais, as expectativas e o nível de conhecimento dos alunos. Faz-se necessásrio mostrar os conteúdos com aplicações em seu cotidiano, abrindo espaço para que a classe traga as suas experienências e apartir delas fazer uma contextualização dos conteudos a serem apresentados.

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Torre de Hanói é um jogo de matemática inventado pelo matemático francês Edouard Lucas, em 1883. Diz-se ter sido inspirado por uma lenda relacionada com o Templo Kashi Vishwanath, situado no centro do Universo. Segundo a lenda, havia três colunas de madeira no templo indiano. No cimo de uma das colunas, estavam empilhados 64 discos de ouro, de acordo com o seu tamanho, do mais pequeno no topo ao maior na base. Sacerdotes brâmanes, seguindo uma antiga profecia, tinham de mover estes discos de acordo com as instruções precisas de Brahma. Apenas um disco podia ser movido de cada vez, e nenhum disco maior podia ser colocado por cima de um disco menor. Se todos os passos executados fossem os correctos, os sacerdotes completariam a sua missão movendo os discos 264 -1 vezes.

Jogo Interativo
Experimente o jogo de simulação da Torre de Hanói. Enquanto joga, lembre-se de seguir as regras: os discos menores devem ser colocados em cima dos discos maiores e apenas um disco pode ser movido de cada vez.

Sabia que?
Se os sacerdotes fossem capazes de mover os discos ao ritmo de um por segundo, eles precisariam de 584.9 mil milhões de anos para mover o total de 64 discos. Todavia, o nosso universo tem apenas 13.8 biliões de anos.

Material:

Isopor, aquele do eletrodoméstico;
Estilete;
Tinta guache e pincel;
Palitos de churrasco.

Modo de Fazer: Geoplano com tampinhas e Torre de Hanoi com sucatas

Primeiro passo:

Faça uma base com o isopor.Depois faça quadrados de tamanhos diferentes com isopor.Pinte a base e os quadrados com cores diferentes.

Como Fazer: Geoplano com tampinhas e Torre de Hanoi com sucatas

Segundo passo:

Meça com o quadrado maior os locais onde irá firmar os palitos para formar três torres - importante: lixe a ponta dos palitos.

Como Fazer: Geoplano com tampinhas e Torre de Hanoi com sucatas

A torre de Hanói é um jogo de estratégia que consiste em passar as peças da torre 1 até a 3 com a menor quantidade de movimentos.Detalhe: durante os movimentos a peça maior não pode ficar sobre uma peça menor.

Começando com quantidades menores de peças (1,2,3 por exemplo) e montando tabelas , chega-se a uma função que relaciona os movimentos com a quantidade de peças.

A Torre de Hanói é um quebra-cabeça que consiste em transferir uma pilha de discos de um pino para outro, seguindo regras específicas. O objetivo é mover todos os discos para um pino diferente, usando um pino auxiliar, sem que um disco maior seja colocado sobre um menor.

Origem e Lenda:
O jogo foi inventado em 1883 pelo matemático francês Edouard Lucas.
A lenda original associa o jogo a uma torre de ouro com 64 discos, que os monges de um templo em Benares teriam que transferir para outro pino, levando o mundo ao fim.

Regras do Jogo:
Movimento de um disco de cada vez: Só pode ser movido um disco por vez.
Sem discos maiores em cima de menores: Um disco maior nunca pode ser colocado sobre um disco menor.
Uso de três pinos: O jogo envolve três pinos, sendo que os discos são inicialmente colocados em um dos pinos e o objetivo é transferi-los para outro pino, utilizando o terceiro pino como auxiliar.

Importância e Aplicações:
A Torre de Hanói é um jogo educativo popular no ensino de matemática, especialmente para crianças.
O jogo é usado para desenvolver habilidades de raciocínio lógico, planejamento e solução de problemas.
É também utilizado em alguns testes psicológicos para avaliar habilidades de planejamento e funções executivas.

Curiosidades:
O número mínimo de movimentos para resolver a Torre de Hanói com n discos é dado por 2n - 1.
A solução da Torre de Hanói com 64 discos, de acordo com a lenda, levaria milhões de anos se um disco fosse movido por segundo.

Em resumo, a Torre de Hanói é um jogo que combina diversão e desafios, estimulando o raciocínio lógico e a capacidade de planejamento

O mistério eletromagnético das pirâmides

Em 1892, o Dr. Nikola Tesla teve a ideia de fabricar uma máquina de produzir chuva que criaria condições favoráveis à vida em algumas regiões.

Embora a ideia de Tesla fosse ionizar a atmosfera através de descargas elétricas, os construtores originais das pirâmides possuíam uma tecnologia capaz de ionizar a atmosfera de uma forma menos potente, mas contínua e quase imperceptível.

Um cientista russo, Alexander Golod, construiu 17 pirâmides na estrada estatal Moscovo-Riga demonstrando a regeneração da vida com a seção dourada (ou proporção áurea) das pirâmides.

Uma pirâmide cristalina, juntamente com seus rios, cavernas e túneis subterrâneos, funciona como um gerador de íons negativos úteis, dotado da capacidade de ajustar automaticamente a intensidade.

O facto de as pirâmides do Egito estarem atualmente num ambiente desértico, sem vegetação, leva-me a concluir que não funcionam correctamente; deve ter ocorrido alguma falha no sistema.

Talvez os túneis subterrâneos tenham desmoronado; talvez alguém tenha deliberadamente fechado alguns, obstruindo assim o fluxo de íons negativos.

Talvez algumas fontes de água subterrâneas tenham secado ou uma grande inundação tenha causado um desvio de fluxos.

Em algumas tribos indígenas as cabanas de oração e enfermagem tinham forma cônica com uma espiral piramidal, porque lá era mais fácil se concentrar mentalmente e se curar rápido.

Foto: Templo De Kukulcán, Chichen Itza.

Ecobag

A ecobag vai além de ser apenas uma alternativa prática às sacolas plásticas; ela simboliza uma escolha consciente em prol do meio ambiente. Ao utilizar a ecobag no dia a dia, contribuímos para um futuro sustentável, principalmente onde o respeito pelo planeta orienta nossas escolhas de consumo.

A ecobag é um acessório extremamente versátil, adequado para diversas situações do dia a dia, desde compras no mercado até passeios e atividades de lazer. Além de sua praticidade, a ecobag é uma alternativa sustentável, contribuindo para a redução do uso de sacolas plásticas e promovendo a conscientização ambiental. 

Aplicações da ecobag:

Compras - Substitui as sacolas plásticas em mercados, feiras e lojas, sendo ideal para transportar alimentos, produtos de higiene, roupas e outros itens. 

Rotina - Perfeita para levar livros, cadernos, materiais de trabalho ou estudo para a faculdade, escola ou escritório. 

Lazer - Pode ser usada para levar roupas, toalhas, itens de praia, lanches e outros pertences em passeios, viagens ou atividades físicas como academia ou praia. 

Outras situações - A ecobag pode ser utilizada para transportar itens diversos em diversas ocasiões, como para levar compras para casa, para organizar a bagagem em viagens ou para carregar objetos pessoais. 

Vantagens:

Sustentabilidade - Reduz o impacto ambiental causado pelo uso de sacolas plásticas descartáveis, promovendo a redução de resíduos e a preservação do meio ambiente. 

Praticidade - Leve, fácil de dobrar e guardar, além de resistente e durável. 

Estilo - As ecobags podem ser encontradas em diversos modelos, cores e estampas, permitindo que sejam combinadas com diferentes looks e estilos. 

Personalização - Podem ser personalizadas com estampas, desenhos ou mensagens, tornando-se um acessório único e exclusivo. 

Conclusão - A ecobag é um acessório versátil e sustentável, ideal para quem busca praticidade, estilo e consciência ambiental. Seja para ir às compras, para o trabalho ou para o lazer, a ecobag é uma ótima opção para substituir as sacolas plásticas e contribuir para um mundo mais sustentável. 

Contribuições para o ensino da matemática na educação infantil

Jogos de percurso envolvem basicamente a sorte. Assim é o tradicional jogo do ganso e todas suas variações; trilhas simples em que os peões avançam de acordo com o número dos dados até a casa final. Para participar é preciso conhecer as regras e saber respeitar a vez de cada um jogar. Na educação infantil, entretanto, além dessas aprendizagens, os percursos também são utilizados para o trabalho didático com a seqüência numérica.

Embora a maioria dos percursos seja jogos de sorte, há alguns que envolvem também estratégias: caracterizam-se por exigir do jogador a necessidade de optar e tomar decisões a cada jogada. É o que acontece com o ludo. (Os melhores Jogos do Mundo Ed. Abril)

O jogo puro e autêntico é uma das principais bases da civilização”, dizia Huizinga em seu livro Humo Ludens. Sempre teve espaço garantido na educação infantil. No entanto, no espaço educativo, esta atividade pode estar ligada a outras aprendizagens além de levar a conhecer regras e saber respeitar a vez de jogar. Participar de jogos de percurso ou mesmo confeccionar tabuleiros para jogar coloca para as crianças desafios que podem ajudá-las a pensar e compreender a complexidade do sistema numérico.

O mais simples percurso, aquele em que as crianças precisam avançar casas de acordo com os números tirados no dado, apresenta, no mínimo, o desafio de recitar a série numérica, de contar e de somar, avançando de um em um. Trilhas mais complexas levam as crianças a aprender mais sobre relações de ordem numérica, contagem, leitura dos números e operações de soma ou subtração.

E, ainda, buscar soluções, estabelecer relações, refletir, argumentar e validar seus conhecimentos. Como se vê, existem muitos conteúdos envolvidos mas podem não ser igualmente importantes para cada turma. Existem jogos melhores para trabalhar com as operações, outros para apresentar a seqüência numérica etc. Os tabuleiros e as regras podem variar de acordo com os objetivos didáticos que o professor pretende alcançar. Portanto, cabe a ele decidir quais são os conteúdos significativos para o grupo com o qual trabalha.

Jogos para iniciantes
Em relação às crianças menores, que tem por volta dos 3 anos, é importante lembrar que elas estão começando a aprender a compartilhar: a seguir regras coletivas como, por exemplo, saber esperar a vez. É mais importante trabalhar com esses conteúdos do que insistir com os da matemática que não são tão estruturantes para elas. Portanto, é interessante escolher ou confeccionar jogos simples, com percurso mais curto, que lhes dê a possibilidade de brincar até o final da partida sem esperar por muito tempo. É importante considerar também o tema do jogo. As crianças dessa faixa etária apreciam muito o faz-de-conta. Portanto, percursos contextualizados a partir de contos de fada ou outras histórias que estimulem o imaginário infantil costumam atrair a atenção das crianças. No lugar dos tradicionais peões pode-se usar pequenos bonequinhos, carrinhos, lembrancinhas de festa que tenham a ver com o tema escolhido.

Jogos mais complexos
Os jogos em que a série numérica indica o caminho a ser seguido podem
ser propostos para os que já têm uma certa familiaridade com as regras e conhecem a estrutura desses percursos. Eles podem utilizar o dado convencional de seis faces ou outros tipos – com algarismos convencionais, com oito ou doze lados etc. – que levam as crianças a lidar com quantidades acima de seis. O professor também pode propor uma seqüência didática em que as crianças se envolvam na confecção dos jogos e passem a pensar sobre os números. Elas podem aprender, por exemplo:

- a ditar uma série numérica para a professora escrever ou ainda consultando ou não fita métrica, tabela numérica, calendário, régua.
- a ler e ordenar os números.
- a ler, ordenar e completar números vizinhos, considerando o antecessor e o sucessor.
- a escrever a série numérica.

O conhecimento da série numérica passa por diferentes estágios, de acordo com as competências das crianças. O professor propõe intervenções em função do que avalia que elas precisam aprender.

Intervenções sobre a série numérica
Um professor que tenha constatado que as crianças de sua turma sabem contar, isto é, recitam a seqüência –, mas não sabem nem ler nem escrever os números, pode escolher, por exemplo, trabalhar com a escrita da série numérica. Nesse caso é interessante que as próprias crianças confeccionem o tabuleiro. O professor deve compartilhar este objetivo ajudando o grupo na produção dos jogos, sem, contudo, fazer pelas crianças pois isso tira delas a oportunidade de resolver os problemas que surgem ao confeccionar.

Numa sala heterogênea, em que as crianças tenham níveis diferentes de
conhecimento sobre a série numérica, é possível oferecer diferentes tipos de ajuda, como mostra a tabela abaixo:

Nível 1
O que fazem as crianças: Ditam a série numérica e desenham a trilha.
O que faz a professora: Escreve a seqüência ditada pelas crianças.

Nível 2
O que fazem as crianças: Escrevem a série numérica consultando um portador numérico e desenham a trilha.
O que faz a professora: Oferece uma quantidade exata de casas brancas, referente ao intervalo numérico que será trabalhado para que as crianças preencham.

Nível 3
O que fazem as crianças: Ordenam a série numérica, completam os números que faltam, desenham a trilha e programam os obstáculos.
O que faz a professora: Escreve alguns números da série para que as crianças completem o restante.

Para as crianças que vão escrever os números (níveis 2 e 3), por exemplo, o professor oferece um portador numérico – a régua ou o calendário – para ser usado como fonte de consulta: uma criança que não sabe ler 15, mas sabe recitar até 15, pode recorrer ao portador, contar de um em um apontando para os números e assim, graças à seqüência memorizada, encontrar a escrita convencional do número que procurava.

Há diferentes níveis de desafio: se o percurso tiver apenas trinta números, as crianças terão apenas que copiar os números do portador . Mas, se ele tiver oitenta ou mais, elas terão que consultar o que já escreveram e deduzir o que vem depois para completar. A escrita dos números antecessores possibilita a dedução de como se escreve o número desejado.

Por exemplo: a criança tem uma tabela até 40 e precisa escrever até o 65. Se o 21 se escreve com o 2 e o 1, o 31 com o 3 e o 1, como será que se escreve o 41? Este problema vai lhe exigir uma reflexão maior sobre as regularidades do sistema de numeração, que lhe permitirá, em ocasiões futuras, escrever a série numérica com autonomia, sem recorrer ao apoio de um portador numérico.

Situações-problema geradas pelo jogo
Existe ainda a oportunidade de o professor trabalhar com situações-problema a partir das jogadas. Ele pode registrar suas observações e discutir depois com o grupo. Por exemplo:

– Estou na casa 4. Se eu jogar o dado e tirar 6, em que casa vou parar?

– Estou na casa 15. Joguei os dados, tirei 5 e 3. Na casa 23 tem um
obstáculo que me fará perder a próxima jogada. O que fazer?

Também é possível pensar em intervenções em que as crianças tenham que somar ou subtrair para avançar com seus peões. A oferta de dois dados em vez de um só pode gerar boas situações de aprendizagens como, por exemplo:

As crianças podem somar juntando os dois números, utilizando a contagem ou ainda subtrair o menor número do maior para descobrir quantas casas poderá avançar.

Mas, se o professor pretende avançar além da simples contagem, pode oferecer um dado bem pequeno que impossibilite a criança somar 1 a 1 apontando no dado, levando-a calcular mentalmente a soma das faces.

Dicas do professor para confeccionar jogos com as crianças
Os percursos que simulam corridas, como os exemplos desta matéria, que têm um ponto de saída e uma trajetória até alcançar o ponto de chegada, são bastante apreciados pelas crianças. Uma variação desta pista pressupõe um ponto de chegada mas vários caminhos, sendo que cada caminho é o destinado a um jogador: todos se encontram no final, mas vence o jogo aquele que chegar primeiro.

Os jogos podem estar contextualizados conforme o interesse do grupo: uma corrida de fórmula I usando como peões carrinhos, uma torre de castelo onde a bruxa prende a princesa e os cavaleiros deverão salvá-la etc.

Existe uma variedade de configurações possíveis para a pista, que é o próprio tabuleiro – quadriculada, ziguezague, espiral, tortuosa. O professor pode confeccionar com as crianças as pistas e os desenhos que serão temas dos jogos. Combinar as armadilhas também faz parte desta proposta.

Pode-se criar regras com as crianças como, por exemplo:

– Inventar obstáculos que proponham operações do tipo avançar ou voltar.

– Combinar que, se sair no dado um número par, o peão avança aquela quantidade, mas, se sair ímpar, retrocede.

– Introduzir a regra de poder andar para a frente ou para trás, conforme for mais conveniente.

– Propor jogos em equipe para que as crianças possam aprender a tomar decisões em conjunto.

É importante lembrar que esses jogos são coletivos, quer dizer, não
existem tabuleiros individuais. Portanto, é preciso recorrer a um material de boa qualidade, atrativo para as crianças. Os peões podem ser feitos de miniaturas, brinquedos atraentes; etc. O tabuleiro poderá ser feito com papel grosso, como papelão ou papel panamá, e plastificado com cola branca ou contact, para garantir maior durabilidade.

Ilustração: Os melhores Jogos do Mundo

A tradição do jogo de percurso
“O novo e extremamente agradável Jogo do Ganso”. Assim ficou conhecido o tradicional jogo de percurso, que teve sua primeira versão criada, provavelmente, entre 1574 e 1587. Ninguém sabe ao certo porque foi batizado com o nome de Ganso, mas a hipótese mais provável atribui sua origem à Grécia ou a algum outro povo da antigüidade que considerava o ganso um animal sagrado.

Ao que consta, tudo começou com Francisco de Médici, que presenteou o rei Felipe II, da Espanha, com um exemplar do jogo. O rei e toda sua corte adoraram acompanhar as reviravoltas da fortuna, metáfora da própria vida.

Desde então o jogo se difundiu por toda a Europa, aparecendo em inúmeros países com as mais diversas variações. Todos, porém, espirais em direção ao centro onde se encontra a casa 63.

Ao longo da trajetória, os jogadores lançavam um par de dados e avançavam no tabuleiro. Ao encontrar as figuras de ganso (de nove em nove casas) eram premiados podendo avançar algumas casas. Mas, se encontrassem o desvio da fortuna, eram castigados retornando algumas casas ou até mesmo voltando ao ponto de origem.

Pelo mundo todo, o princípio do jogo e o tabuleiro original cederam lugar a vários temas e imagens, explorados como possibilidade de ensino, veículo de propaganda política, religiosa ou comercial, ilustrados com figuras da literatura, religião, política e fatos históricos como a Revolução Francesa, as guerras de Napoleão Bonaparte, etc.

Hoje em dia, os tradicionais jogos de percurso são muito usados nas escolas pelas inúmeras possibilidades de ensino que permitem.

(Os melhores Jogos do Mundo. Ed. Abril)


Projeto: Jogos de Percurso

Objetivo compartilhado com as crianças:
Confecção de jogos de percurso para o acervo de jogos da creche.

Objetivos didáticos:

Que as crianças conheçam jogos de percurso.
Que leiam, organizem e ordenem os números.

Etapas prováveis de trabalho:

- Em roda, levantar o conhecimento prévio das crianças sobre os jogos. Levar alguns jogos e propor que observem e joguem com eles. As crianças deverão reconhecer algumas características desse tipo de jogo e aprender as regras.
- No dia seguinte, retomar com as crianças as regras do percurso que jogaram no dia anterior e propor que observem mais atentamente os componentes que fazem parte do jogo: dados e fichas.
- Organizar muitas rodadas, para que as crianças joguem bastante, conheçam melhor as características das trilhas, possibilidades de obstáculos, diferenças entre as regras, etc.
- Com a experiência adquirida será possível propor a confecção de jogos apoiando-se nos modelos que elas conhecem. Dividir a sala em três grupos para a elaboração de três jogos de percurso.
- Feito o primeiro esboço, combinar momentos para que cada grupo possa fazer tantas revisões de seu jogo quantas forem necessárias, até que fique bom o suficiente para que todos possam entender as regras e conseguir jogar. Nesta etapa, propor intervenções que ajudem tanto no desenho do jogo como na compreensão das regularidades do sistema numérico. É esperado que as crianças consigam ler e ordenar os números.
- Ao término, cada grupo deverá mostrar seu jogo para a apreciação da sala.Todas as crianças poderão jogar com os outros percursos. Depois haverá uma troca de jogos com as outras salas da creche.

Orientações didáticas para o trabalho com percursos:

- Certificar-se de que as crianças conhecem a estrutura do jogo e suas regras.
- Ler as regras para o grupo antes do início do partida.
- Ler os textos que indicam obstáculos sempre que as crianças requisitarem.
- Propor a criação de diferentes textos para os obstáculos.
- Propor a confecção de jogos em pequenos grupos para que todos possam participar e para que, ao final, possam socializar os tabuleiros com as demais crianças da sala.

Bibliografia literária

Os melhores Jogos do Mundo. Ed. Abril. São Paulo. SP. Tel.: (11) 3141-0871
Jogos do Mundo. Unicef. São Paulo. SP.Tel.: (11) 3673-9722
Produção de notações na criança – linguagem, número, ritmo e melodia.
Org. Hermine Sinclair. Ed. Cortez. Cap. Notação numérica da criança. Anne Sinclair.
Didática da Matemática. Org. Cecília Parra e Irma Saiz. Ed.Artes Médicas.
Jogos em Grupo. Constance Kamii. Ed. Perspectiva.
Aprendendo com jogos e situações problema. Lino de Macedo e outros. Ed. Artes Médicas.

Quebra-cabeça estratégico

O "Resta Um" é um quebra-cabeça estratégico que pode ser utilizado como ferramenta para desenvolver o raciocínio lógico e matemático em crianças da educação infantil, estimulando habilidades como planejamento, antecipação e resolução de problemas. O objetivo do jogo é eliminar peças no tabuleiro através de saltos, até que apenas uma peça reste.

Benefícios do "Resta Um" para a Educação Infantil:
Raciocínio Lógico:
A criança precisa planejar suas jogadas, antecipando os resultados e buscando a melhor estratégia para alcançar o objetivo.
Habilidade Estratégica:
O jogo exige que a criança pense em diferentes movimentos e escolha a melhor sequência para eliminar as peças.
Concentração e Atenção:
O jogo demanda foco e atenção para acompanhar as peças no tabuleiro e planejar as jogadas.
Desenvolvimento da Coordenação Motora:
As crianças podem praticar habilidades motoras finas ao manusear as peças e o tabuleiro.
Aprender sobre Números e Quantidades:
A contagem das peças no tabuleiro e a eliminação delas, podem ser uma maneira lúdica de introduzir conceitos matemáticos como "um", "muitos", "menos", etc.
Como Utilizar o "Resta Um" na Sala de Aula:
1. Introdução do Jogo:
Apresente o "Resta Um" de forma lúdica, explicando as regras e o objetivo do jogo.
2. Exploração do Tabuleiro:
Deixe as crianças explorarem o tabuleiro e as peças, incentivando-as a descobrir diferentes formas de organizar as peças.
3. Jogos em Grupo:
Promova jogos em grupo, onde as crianças possam interagir e compartilhar suas estratégias.
4. Adaptações:
Adapte o jogo às necessidades da turma, utilizando tabuleiros e peças menores para as crianças mais pequenas.
5. Registro das Jogadas:
Incentive as crianças a registrar suas jogadas em papel, ajudando-as a visualizar o processo de resolução do problema.
6. Discussão sobre as Soluções:
Após cada jogo, converse com as crianças sobre as estratégias utilizadas e como elas chegaram à solução.
Outras Formas de Utilizar o "Resta Um" na Educação Infantil:
Resta Um com Diferentes Objetos:
Utilize outros objetos, como botões, tampinhas ou pedrinhas, para criar versões do "Resta Um" com materiais do cotidiano.
Versão Simplificada:
Adapte as regras para uma versão simplificada do jogo, com menos peças no tabuleiro.
Criação de Tabuleiros e Peças:
Incentive as crianças a criarem seus próprios tabuleiros e peças, utilizando materiais como papelão, cartolina ou argila.

O "Resta Um" é uma ferramenta valiosa para a educação infantil, pois estimula o raciocínio lógico e matemático de forma lúdica e divertida, contribuindo para o desenvolvimento integral das crianças.

O jogo Resta Um também é um jogo de salão de estratégia, raciocínio e atenção. Ele exige planejamento e pensamento lógico para alcançar o objetivo final. É uma prática popular em vários países e pode ser encontrada em vários formatos, desde os mais simples até os mais elaborados e sofisticados.

Para jogá-lo, são necessárias 32 peças e um tabuleiro com 33 “casas”. Todas as peças são dispostas, inicialmente, em formato de cruz e a “casa” central é deixada vazia. O objetivo do jogo é deixar apenas uma peça no tabuleiro. Para isso, o jogador deve mover as peças, saltando sobre uma peça adjacente e retirando-a do tabuleiro. O jogo continua até que não seja mais possível realizar nenhum movimento válido ou até que reste apenas uma peça no tabuleiro.

Jogar Resta Um pode ser uma atividade de lazer que traz diversos benefícios para o desenvolvimento cognitivo e emocional.

O texto abaixo deverá ser usado para responder as questões 1 e 2

QUESTÃO 1

O texto sobre o jogo Resta Um é um gênero textual que tem como principal característica

(A) emocionar e persuadir pessoas.

(B) narrar eventos e histórias.

(C) informar e instruir a fazer algo.

(D) refletir sobre um tema específico.

QUESTÃO 2

Saltar peças é um movimento do jogo Resta Um. Neste jogo é permitido saltar

(A) duas peças de uma vez.

(B) na diagonal e vertical.

(C) na vertical e horizontal.

(D) várias peças de uma vez.

QUESTÃO 3

O jogo Resta Um é uma excelente opção de lazer. O lazer pode ser definido como

(A) obrigação que as pessoas têm em família com fins educacionais.

(B) atividade vivenciada no horário de trabalho para ganhar dinheiro.

(C) práticas de livre vontade, para prazer, entretenimento e descanso.

(D) ocupação do tempo livre com atividades exclusivamente esportivas.

QUESTÃO 4

Você acredita que o lazer deve ser uma prioridade na vida das pessoas? Justifique.

QUESTÃO 5

Quais habilidades o jogo Resta Um ajuda a desenvolver?

O Ludo, e jogos de tabuleiro em geral, podem ser excelentes ferramentas para o ensino de matemática na educação infantil, tornando o aprendizado mais lúdico e envolvente

Aprendendo Matemática com o Ludo

Autora: Renata Bravo

Objetivo Geral:

Desenvolver habilidades matemáticas (contagem, adição, subtração, lógica e raciocínio estratégico) de forma lúdica e colaborativa.

Faixa Etária: 4 a 7 anos

Materiais Necessários:

Jogo de Ludo (tabuleiro e peões)

Dados

Cartas com operações matemáticas simples (opcional)

Fichas ou blocos de contagem (opcional)

Atividade 1: Contagem e Números

Objetivo: Fixar contagem e sequência numérica.

Como jogar:

1. Cada criança joga o dado e conta em voz alta o número obtido.

2. Avança o peão o número de casas correspondente.

3. Ajuda a reforçar a sequência numérica e a contagem visual das casas.

Variação: Use blocos ou fichas para representar cada passo do peão, reforçando a contagem física.

Atividade 2: Adição e Subtração

Objetivo: Praticar operações matemáticas básicas.

Como jogar:

1. Cada criança joga o dado.

2. Antes de avançar, sorteia uma carta com operação matemática (ex.: “Some 2” ou “Volte 1 casa”).

3. Avança ou retrocede de acordo com o resultado da operação.

Variação: Comece com somas simples (+1, +2) e aumente a dificuldade gradualmente.

Atividade 3: Raciocínio Lógico e Estratégico

Objetivo: Desenvolver pensamento estratégico e resolução de problemas.

Como jogar:

1. Explique que as crianças precisam planejar seus movimentos considerando a posição dos outros peões.

2. Incentive decisões como: “Se eu avançar 3 casas, posso ser bloqueado?” ou “Se eu esperar, posso evitar ser pego?”.

Dica: Após o jogo, peça para as crianças explicarem suas escolhas, reforçando a percepção lógica.

Atividade 4: Trabalho em Grupo e Cooperação

Objetivo: Incentivar interação social e respeito às regras.

Como jogar:

1. Forme grupos de 3 a 4 crianças.

2. Cada grupo deve combinar estratégias, respeitando os turnos.

3. Promova discussões sobre colaboração e respeito às regras após a partida.

Sugestões Pedagógicas

Adaptar regras: Simplifique ou adicione desafios conforme a idade e habilidade da turma.

Criar jogos personalizados: Personalize o tabuleiro com cores, números ou personagens que motivem a turma.

Combinar com outros materiais: Use blocos, cartões ou figuras para representar operações e movimentos.

Reflexão: Converse sobre o que aprenderam, destacando conceitos matemáticos e estratégias.

EXPO EDUCAÇÃO 2019: EDUCAÇÃO FÍSICA

Renata Bravo em colaboração com a Secretaria Municipal da Educação Superintendência de Gestão Educacional Departamento de Ensino Fundamental de Curitiba

JOGOS: TRANSPOSIÇÃO DO TABULEIRO PARA A QUADRA

LUDO 

ORIGEM: ÍNDIA 

COMO JOGAR: NO TABULEIRO

O tabuleiro do Ludo é formado por um quadrado que possui um percurso marcado com o desenho de uma cruz, com cada braço de uma cor diferente (vermelho, amarelo, verde, azul). Em cada um dos cantos estão os 4 pontos de saída onde começam os 4 peões de cada jogador. 

Para iniciar, um jogador lança dois dados e percorre com um dos seus peões o número de casas correspondente ao valor tirado. 

O objetivo do jogo é ser o primeiro que, partindo do ponto de saída, chegar com os 4 peões à casa final, no centro da cruz. Para isso, devem dar a volta inteira no tabuleiro e chegar antes dos adversários. 

Uma vez concluído o percurso em torno de todo o tabuleiro, o peão deve subir a coluna correspondente à sua cor para chegar ao círculo central. Para chegar, é necessário tirar no dado o número exato, correspondente ao número de casas que que faltam para o peão conquistar o círculo central. Se não conseguir, pode utilizar o número para movimentar outros peões ou então passar a sua vez.

Alguns dos objetivos do trabalho com a sequência numérica na educação infantil são:

- Identificar e nomear os números.

- Estabelecer a relação entre o número e a quantidade.

- Desenvolver as percepções visuais, auditivas e sensório-motoras.

Para efetuar operações com frações, é preciso saber como somar, subtrair, multiplicar e dividir frações

A chave para as operações é encontrar um denominador comum quando necessário e, em seguida, aplicar as regras para cada operação.

1. Soma e Subtração:

Denominadores Iguais:
Quando os denominadores são iguais, basta manter o denominador e somar ou subtrair os numeradores.
Exemplo: 2/5 + 1/5 = (2+1)/5 = 3/5

Denominadores Diferentes:
Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.
Calcule o MMC dos denominadores.
Transforme as frações em frações equivalentes com o novo denominador (o MMC).
Sume ou subtraia os numeradores e mantenha o denominador comum.
Exemplo: 1/2 + 1/3
MMC de 2 e 3 é 6.
1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6
3/6 + 2/6 = 5/6

2. Multiplicação:
Multiplique os numeradores e multiplique os denominadores.
Exemplo: (1/2) * (3/4) = (13)/(24) = 3/8

3. Divisão:
Multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Exemplo: (1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = (14)/(23) = 4/6 (que pode ser simplificado para 2/3)

Dicas:

Simplificação:
Sempre simplifique a fração resultante, dividindo o numerador e o denominador pelo seu maior divisor comum.

Fração de um número:
Para encontrar a fração de um número, multiplique a fração pelo número.
Exemplo: 2/3 de 15 = (2/3) * 15 = 10

Regra da borboleta:
Um método prático para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes é o método da borboleta (ou cruzadinha).
Multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda.
Multiplique o denominador da segunda fração pelo numerador da primeira.
O denominador da fração resultante é o produto dos dois denominadores.
Sume ou subtraia os resultados da multiplicação cruzada (dependendo da operação).

Ordem das operações:
Lembre-se da ordem das operações (parênteses, potências, multiplicações/divisões, adições/subtrações).

Quadrado mágico

O quadrado mágico pode ser uma ferramenta lúdica e pedagógica para estimular o raciocínio lógico, a concentração e a habilidade com números. Ao apresentar aos alunos um quadrado mágico (como o 3x3, onde a soma das linhas, colunas e diagonais é sempre 15), eles aprendem a identificar padrões, resolver problemas e desenvolver habilidades matemáticas de forma divertida.

Como usar o quadrado mágico na Educação Infantil:
1. Apresentação:
Comece mostrando o quadrado mágico para as crianças, explicando que a soma de cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma.
2. Exploração:
Incentive as crianças a explorar o quadrado mágico, identificando os números e as suas posições.
3. Jogos:
Adapte o quadrado mágico para jogos, como "Encontre a soma", onde as crianças precisam encontrar linhas, colunas ou diagonais que somam a mesma quantidade.
4. Criação:
Incentive as crianças a criar seus próprios quadrados mágicos, usando números e cores diferentes.
5. Diversificação:
Use diferentes tipos de quadrados mágicos, como os que usam figuras ou símbolos, para tornar o aprendizado mais interessante.

Benefícios:
Desenvolvimento do raciocínio lógico, Fortalecimento da habilidade com números, Melhora da concentração e atenção, Estimulação da criatividade e da capacidade de resolução de problemas, Aprendizagem lúdica e significativa.

Exemplos de atividades:
"Encontre a soma":
Apresente um quadrado mágico e peça para as crianças encontrarem as linhas, colunas ou diagonais que somam a mesma quantidade.
"Complete o quadrado":
Apresente um quadrado mágico com algumas casas em branco e peça para as crianças completarem com os números corretos.
"Crie seu próprio quadrado mágico":
Incentive as crianças a criarem seus próprios quadrados mágicos, usando números e cores diferentes.

Recursos:
Quadrados mágicos prontos:
Existem diversos sites e lojas que vendem ou disponibilizam quadrados mágicos prontos para imprimir.
Atividades criativas:
Você pode criar suas próprias atividades, como jogos de encaixe, atividades com lápis e papel ou jogos de computador.
Livros e revistas:
Existem livros e revistas que abordam o tema dos quadrados mágicos de forma lúdica e educativa.