A matemática e a natureza

A Natureza, no sentido mais amplo, reporta-se ao mundo natural, incluindo a água, ar, montanhas, microrganismos, plantas e animais, a Terra e o Universo. Por volta de 600 a.C., alguns filósofos gregos acreditavam que a natureza possuía um senso de ordem já que mutações ocorrem seguindo certos padrões. Assim, procuraram usar métodos matemáticos para descrever os fatores de mudança e calcular o resultado.

Os Números de Fibonacci, descobertos por matemáticos italianos, aparecem em toda parte no reino vegetal. Nesta famosa sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...), exceto os dois primeiros números, cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores. Os Números de Fibonacci aparecem reflectidos nos ramos de árvores, pétalas de rosas, escamas das pinhas, ou na casca do ananás; até as sementes de girassol estão organizadas em espirais logarítmicas. Além disso, quando tomamos dois números de Fibonacci sucessivos, a sua proporção é muito próxima da razão dourada. No mundo animal, a concha do náutilo tem internamente câmaras dispostas em espiral logarítmica e o seu exterior é conforme com a razão dourada.


O exemplo mais famoso do Número de Fibonacci é o crescimento populacional dos coelhos. Este problema começa com um par de coelhos e tem três pressupostos: Os coelhos acasalam com a idade de três meses; uma fêmea pode gerar outro par de coelhos todos os meses; e os coelhos nunca morrem. Nesta sequência infinita, o número total de pares de coelhos por mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 .... Haverá um total de 233 pares de coelhos ao fim de um ano.


Animal Arquiteto - As escolhas das Abelhas
Porque razão o exterior das colmeias das abelhas parece uma estrutura composta por células hexagonais, mas a base de cada célula é formada por três losangos regulares? A primeira questão envolve o Problema Isoperimétrico clássico, que é determinar uma figura plana com a maior área possível cujo limite tem um comprimento específico. As abelhas, por instinto, escolheram o hexágono, o que lhes permite construir os favos de mel da maneira mais econômica. A segunda questão é como construir células com o maior volume mas usando a menor quantidade de cera. Em relação à base da célula, as abelhas usaram três losangos regulares para formar a base do prisma hexagonal. A estrutura, dado o volume fixo, irá formar uma menor área de superfície de modo a que seja necessária a menor quantidade de materiais para construir o favo de mel. O astrônomo G. F. Maraldi mediu o ângulo agudo e o ângulo obtuso da base da célula, e concluiu serem de 70°32" e 109°28". Comparando com os resultados de cálculo, que são 70°34" e 109°26", eles só diferem em 2". O mundo natural é realmente incrível!


Animal matemático - Teia da Aranha
Uma teia da aranha é uma estrutura tipo rede, criada por uma aranha com a seda que produz. É usada para habitação e captura de presas. Diferentes tipos de aranhas constroem teias de diferentes formas e tamanhos. As teias orbe são formadas por fios em espiral, tecidos em torno dos raios de uma estrutura radial. As teias em funil são teias horizontais, tipo folha, com um pequeno tubo semelhante a um funil no meio ou num dos lados da teia. As teias emaranhadas têm um enredado disforme de fios na metade superior, enquanto a metade inferior tem fios de seda em suspensão que tocam o chão para capturar presas. Em teias tipo folha, os fios de seda estão entrelaçados em direções diferentes. Em geral, os raios nas teias de aranha são raios radiando do centro para fora, enquanto a linha espiral consiste em linhas colocadas sobre os raios e seguindo a espiral logarítmica.


Sabia que?
Quando os falcões voam no céu à caça de pequenos animais no chão, geralmente procuram o melhor ângulo para garantir maior velocidade e precisão.
Quando as lagartixas caçam mosquitos, moscas, traças e outros tipos de pequenos insetos, geralmente rastejam ao longo de uma linha em espiral. Em matemática, esta linha é chamada Espiral.
Quando as abelhas cortadoras usam as suas mandíbulas para cortar folhas em partes circulares ou ovais, os pedaços de folha têm todos a mesma forma e tamanho como se fossem cortados pelo mesmo molde.
O pólipo de coral trata o seu corpo como um calendário. Todos os anos, 365 linhas curvas são marcadas no seu corpo, aparentemente uma linha por dia.
Quando as garças vermelhas migram, normalmente voam juntas numa formação em "V". O ângulo desta formação é de cerca de 110°. Coincidentemente, metade deste ângulo é também o ângulo nos diamantes e cristais.
No Inverno, os gatos geralmente enrolam os seus corpos em forma de esfera de modo a que a área dos seus corpos exposta ao frio seja mínima, reduzindo também ao mínimo a perda de calor.

Atividades lúdicas

Colmeias

As colmeias construídas pelas abelhas são formadas por prismas hexagonais. A extremidade aberta de cada célula é um hexágono e a base, na extremidade fechada, é formada por três losangos do mesmo tamanho. O ângulo agudo e o ângulo obtuso de cada losango são de 70°32" e 109°28".


Folha

A disposição das folhas segue números especiais? O crescimento das folhas segue uma rotação de 137.5°, evitando a sua sobreposição em maior extensão, absorvendo assim a luz solar de forma mais eficiente.


Borboleta

As asas das borboletas são simétricas, mas a frequência com que agitam as asas não é alta, apenas quatro a dez vezes por segundo. Na realidade, as suas asas simétricas não são muito úteis para manterem um voo equilibrado.


Estrela-do-mar

A estrela-do-mar é um animal marinho em forma de estrela e possui, normalmente, 5 braços. A estrela-do-mar tem a capacidade de regenerar os seus membros desde que esteja presente um pedaço do disco central, e algumas espécies, de um braço perdido, podem desenvolver uma nova estrela-do-mar.


Coelho

O problema de crescimento populacional de coelhos de Fibonacci, refere que se um par de coelhos gera um par de coelhos (um macho e uma fêmea) por mês, cada coelho recém-nascido pode gerar outro par de coelhos no terceiro mês, e os coelhos nunca morrem. Qual o número total de coelhos após 50 meses?


Concha de Náutilo

Tente desenhar a secção transversal de uma concha de náutilo num retângulo, com uma proporção de 1: 1.618. Primeiro, desenhe um quadrado dentro do rectângulo. Em seguida, no rectângulo menor adjacente, desenhe outro quadrado. Continue a desenhar quadrados, desta mesma maneira, até que não possa desenhar mais. Finalmente, desenhe uma curva em espiral que passe através de cada quadrado e o resultado será uma Espiral Dourada.


Girassol

Imagine que coloca uma semente no centro do girassol e outra perto do centro. Em seguida, coloque outra próximo ao centro girando 0,618 de um círculo (360°× 0,618 = 222,48°). Continue a colocar as sementes segundo este método para preencher todo o núcleo da flor, formando um arranjo único das sementes de girassol. De fato, 0,618: 1 = 1: 1,618 é a Proporção Dourada.


Anéis de Crescimento das Árvores

Quando uma árvore é cortada, na sessão transversal do tronco da árvore são revelados os anéis de crescimento. Representam a idade da árvore. Os anéis de cor mais clara são formados na Primavera, enquanto que os de cor mais escura são formados no Outono e Inverno. No entanto, as árvores que crescem em regiões tropicais podem não apresentar anéis de crescimento, dadas as mudanças sazonais serem mínimas.

Matemática e Belas Artes

Arte significa criar "beleza" no meio ambiente através de imagens, objetos, movimentos, sons ou outros, baseada em fatores humanos combinados, como técnica, desejo, imaginação e experiência. Este tipo de beleza pode ser partilhado ou permutado e pode despertar emoções coletivas, bem como reflexões individuais. No vasto mundo da Arte, a pintura, escultura, música, poesia, teatro, dança, cinema e similares pertencem ao campo das Belas Artes.

O sentido estético do ser humano não é afetado pela língua ou herança cultural. Os amantes da estética geralmente têm interesse pelas belas artes. Em muitas das grandes obras-primas da arte foi aplicada a aritmética, a álgebra, a geometria plana, geometria esférica, geometria analítica, topologia, perspectiva e simetria. Embora a religião muçulmana proíba a representação do corpo humano e de animais em peças de arte, muitos artistas islâmicos usaram a matemática para criar motivos geométricos e arabescos, bem patentes nos seus tapetes e azulejos.

Proporção Dourada e Belas Artes
O corpo humano é elogiado quando existe uma correcta proporção da cabeça e dos membros, assim como equilíbrio no corpo como um todo. Entre as mais famosas esculturas da Grécia antiga, Vénus de Milo, Atena e Apolo, todas têm as pernas alongadas de modo a que, comparando as medidas entre a planta dos pés até ao umbigo e, deste, até ao topo da cabeça, correspondam ao Ratio Dourado (1:0,618). O Ratio Dourado aparece em muitas famosas pinturas, esculturas e até mesmo fotografias , sendo disso exemplos, entre outras, as pinturas Mona Lisa de Leonardo da Vinci, As Respigadoras de Jean-François Millet, A Grande Onda de Kanagawa de Katsushika Hokusai, e a fotografia Hyères, France de Henri Cartier- Bresson.

Figuras Geométricas e Belas Artes

O ponto, a linha, o plano e outras figuras geométricas são elementos essenciais para o estudo da matemática. O ponto é usado igualmente na pintura, como no Pontilhismo. Em vez de misturar as cores na paleta antes de as aplicar na tela, o pintor faz pontos directamente na tela com cores distintas - como o vermelho, amarelo e azul -, permitindo que se misturem naturalmente para criar padrões únicos. Uma importante obra-prima deste estilo pictórico é Uma Tarde de Domingo na Ilha de La Grande Jatte de Georges-Pierre Seurat. Por outro lado, muitos pintores estudaram igualmente a matemática para a combinar na sua arte. Leonardo da Vinci aplicou com sucesso a perspectiva geométrica na pintura A Última Ceia, criando um espaço tridimensional numa parede plana. Maurits Cornelis Escher usou hipérboles na xilogravura "Limite Circular III", para expressar o seu entusiasmo pela geometria.

 

Sugestão de atividade

Tente colocar as folhas de plástico nas suas posições correspondentes, como ilustrado na figura, e descobrir a relação entre a matemática e as obras de arte em termos de plano e estrutura.

Sabia que?

1) No canto superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, encontramos o chamado Quadrado Mágico de Dürer, um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16. O que é mais interessante é que os números 1514, nas duas células do meio da fila inferior do quadrado, correspondem à data da gravura.

2) O Cubismo, movimento artístico criado por Pablo Picasso e Georges Braque, enfatiza a fragmentação dos objetos, representados por figuras geométricas, e a sua remontagem. A Colagem, ou cubismo sintético, foi uma técnica desenvolvida em seguida, procurando tornar os objetos novamente reconhecíveis.

Barreira inversa

Ainda nos anos 90, Zetti foi o precursor da barreira inversa. Ela nada mais é que a barreira formada a partir do poste inverso ao que está mais próximo da bola. Esta técnica ainda é pouco utilizada pelos goleiros, apesar de confundir bastante os atacantes.

Como o goleiro se coloca na bissetriz do ângulo, ele fica na posição mais correta para defender o chute. Assim, ele diminui o ângulo do batedor ao ficar na bissetriz e ao colocar a barreira ao seu lado para ajudá-lo. Experimente comparar a barreira inversa com a normal e veja que de um lado, a barreira normal cobre um pouco do gol e de outro a inversa, com o mesmo número de jogadores fecha muito mais o ângulo.

Apesar disso, é importante o goleiro se posicionar bem ao armar a barreira inversa. Ontem, Castillo do Uruguai usou esta técnica, mas ficou muito para o meio do gol e acabou levando o gol do seu lado. É muito importante, quando se armar essa barreira, ficar sempre na bissetriz do ângulo e não no meio do gol.

Acompanhe no desenho abaixo como armar a barreira inversa e sua comparação com a barreira normal.

A linha vermelha representa a bissetriz onde o goleiro deve se posicionar para minimizar o ângulo do atacante. As linhas amarelas representam o ângulo do batedor. A linha azul refere-se à visão do goleiro no momento da batida. Repare que na barreira inversa o goleiro está enxergando a bola, posicionado na bissetriz e colocando 1 homem e meio cobrindo o ângulo direito do batedor. Vale lembrar que sempre é necessário colocar 1 homem além da linha amarela devido ao efeito que o batedor possa imprimir no chute.

                                           

Já na barreira normal, o goleiro tem de se posicionar muito longe da bissetriz, deixando um ângulo completamente aberto. Além disso, para ver a bola, repare que ele tem de se posicionar quase no limite do ângulo direito do batedor. A barreira também conta com apenas um homem inteiro excedendo o ângulo esquerdo do batedor. Não há a mesma segurança que na barreira inversa.

Portanto, insisto que esta técnica deva ser treinada com teu time. Experimente usá-la em um treino para ver se te acostumas e depois tente usá-la em uma partida. Eu estou usando e até agora não levei gol.

Transferidor

O transferidor é usado para medir ou desenhar ângulos. É geralmente feito de plástico, madeira ou metal. A sua origem remonta aos Árabes quando estes dividiram um ângulo recto em 180 partes. Mais tarde outros seguiriam este exemplo e, consequentemente, seria criado o transferidor.

O transferidor semicircular ou circular é comummente usado em Matemática. O transferidor semicircular é um semi-círculo que mede de 0 a 180 graus. Quando não existiam ferramentas de medição electrónica ou logicial de desenho de computador, a régua, a régua triangular e compasso, além do transferidor, eram os instrumentos necessários para medir e desenhar.

Medição de Ângulos
Coloque o transferidor sobre o ângulo. Alinhe o vértice do ângulo com a origem (ponto central) do transferidor. Gire o transferidor para que um dos lados do ângulo caia na linha de base (linha que se projecta para o início da escala) do transferidor. Siga o lado oposto do ângulo até às medidas no arco do transferidor. O número que esse lado passa é a medida do ângulo em graus.

Desenho de Ângulos
Desenhe uma linha recta. Coloque a origem do transferidor em uma extremidade da linha. Este ponto será o vértice do ângulo. Alinhe a linha com a linha de base do transferidor. Encontre o grau do ângulo que você deseja desenhar na escala apropriada do transferidor e, em seguida, marque o grau com um ponto. Conecte o vértice com o grau marcado usando uma régua. Esta segunda linha completa seu ângulo.

Sugestão de atividade lúdica
Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°. A cadeira exposta na galeria de exposições tem o mesmo ângulo de 120°.

Saiba que?
Se você cortar um bolo circular três vezes em seis partes iguais, cada fatia terá um ângulo de 60°. Se você compartilhar todas as seis fatias entre três crianças, cada um terá duas fatias. Estas duas fatias juntas equivalem a 120° do bolo.

Transforme um Caixote em uma Horta Incrível com Esse Adubo Caseiro Poderoso

Ingredientes:

Casca de ovos triturada (rica em cálcio)

Borra de café usada (rica em nitrogênio)

Cascas de frutas e verduras (banana, maçã, cenoura, etc.)

Restos de legumes cozidos (sem óleo ou tempero)

1 litro de água

Um pouco de terra comum

Materiais:

Um balde ou pote com tampa

Colher ou pá pequena

Liquidificador (opcional, para acelerar)

Modo de Preparo:

1. Triture os Materiais Secos: 01 -> Quebre as cascas de ovos até ficarem bem pequenas.

02 -> Deixe a borra de café secar um pouco para evitar mofo.

03 -> Pique as cascas de frutas e verduras em pedaços pequenos.

2. Misture Tudo: 04 -> Em um balde, coloque:

1 xícara de casca de ovo triturada

1 xícara de borra de café

2 xícaras de cascas de frutas/verduras picadas

2 xícaras de terra comum

3. Umedeça: 05 -> Adicione meio litro de água para umedecer bem a mistura.

06 -> Misture tudo com uma colher ou pá.

4. Deixe Fermentar: 07 -> Tampe o balde e deixe repousar por 3 a 5 dias em local fresco e sombreado.

08 -> Mexa a mistura uma vez ao dia.

5. Pronto para Usar: 09 -> Depois da fermentação, seu adubo estará cheiroso (como terra úmida) e nutritivo.

10 -> Use uma camada fina na superfície da terra dos caixotes ou misture com a terra nova antes de plantar.

Dicas Extras:

Evite colocar restos de carne, gordura ou alimentos temperados!

Repita a adubação a cada 20 dias para manter a horta sempre forte.

Pode usar também nas plantas que já estão crescendo (é só espalhar e regar depois).

Agora é só cuidar da sua horta e ver suas plantas crescerem saudáveis e felizes! 

A trigonometria pode ser explorada de forma prática e criativa utilizando materiais reciclados, como garrafas PET, papelão, e outros materiais reutilizáveis, para construir modelos de ângulos, triângulos, e relações trigonométricas.

Este método pode tornar o aprendizado mais envolvente e demonstrar a aplicação da trigonometria em situações do cotidiano.

Como aplicar a trigonometria com materiais reciclados:
1. Modelos de ângulos:
Garrafas PET podem ser usadas para criar modelos de diferentes ângulos, como ângulos retos, agudos, obtusos, e retos.
2. Construção de triângulos:
Papelão pode ser usado para construir triângulos, permitindo a identificação de lados e ângulos, e a aplicação de razões trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
3. Cálculo de distâncias e alturas:
Utilize materiais como barbante ou fita métrica para medir distâncias e alturas, e então utilize a trigonometria para calcular ângulos e relações entre lados de triângulos, como na resolução de problemas de engenharia e topografia.
4. Círculo trigonométrico:
Uma prancha de MDF ou papelão pode ser usada para desenhar um círculo trigonométrico, e objetos como tampas de garrafa ou pedaços de cartão podem ser usados para marcar pontos e representar ângulos.

Benefícios de utilizar materiais reciclados na trigonometria:

Aprendizagem prática:
A manipulação de materiais concretos facilita a compreensão dos conceitos teóricos, tornando o aprendizado mais intuitivo e menos abstrato.

Desenvolvimento de habilidades:
O uso de materiais reciclados incentiva a criatividade, a resolução de problemas e a habilidade de construir e manipular objetos.

Promoção da sustentabilidade:
A utilização de materiais reciclados promove a conscientização sobre a importância da reutilização e do descarte correto de resíduos.

Engajamento do aluno:
A abordagem prática e criativa torna o aprendizado mais interessante e envolvente, aumentando o interesse do aluno pela matéria.

Exemplos de atividades:

Construção de uma réplica de um monumento usando ângulos e medidas trigonométricas:

Os alunos podem utilizar materiais reciclados para criar um modelo de um monumento famoso, como a Estátua da Liberdade, e aplicar a trigonometria para calcular os ângulos e medidas necessárias.

Cálculo da altura de uma árvore utilizando a trigonometria e materiais reciclados:

Os alunos podem medir o ângulo de elevação do topo da árvore e a distância do observador até a base da árvore, e então utilizar a trigonometria para calcular a altura da árvore.

Construção de um jogo de tabuleiro com problemas de trigonometria:

Os alunos podem criar um jogo de tabuleiro onde as questões são relacionadas à trigonometria, e os jogadores podem utilizar materiais reciclados para resolver os problemas e progredir no jogo.

Última casa (uma variante do Nim)

Consiste em um tabuleiro composto por dezesseis casas e botões de duas cores diferentes. São necessários dois participantes que se alternam colocando um, dois ou três botões na bandeja. O raciocínio lógico do jogador é estimulado a medida em que ele busca uma maneira de fazer com que o colega coloque a última peça tornando, assim, o perdedor. Este jogo requer um estudo da estratégia para saber qual a melhor jogada a fim de obter a vitória.

O jogo Nim, também conhecido como jogo de palitos, é uma ferramenta matemática lúdica que pode ser usada para ensinar conceitos matemáticos, como lógica, operações aritméticas e estratégias de jogo. Ele envolve a remoção de objetos de montes, e a estratégia vencedora baseia-se na compreensão do sistema binário e na capacidade de calcular a quantidade de objetos que podem ser removidos para garantir a vitória.

Como o Nim relaciona-se com a matemática:

Lógica e estratégia:
O Nim exige que os jogadores analisem a situação atual do jogo, previnam as possíveis jogadas do adversário e planejem suas próprias jogadas para alcançar a vitória.

Operações aritméticas:
A contagem das peças e a identificação da quantidade que deve ser removida para garantir a vitória envolvem operações de adição e subtração.

Sistema binário:
A estratégia vencedora no Nim é baseada no sistema binário, que utiliza apenas os números 0 e 1. Ao representar o número de peças em cada monte como um número binário, é possível determinar a jogada ideal para deixar o adversário em uma situação perdedora.

Raciocínio matemático:
O jogo estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico e do pensamento estratégico, habilidades importantes na aprendizagem da matemática.

Exemplo de como a estratégia binária funciona:
Considere um jogo de Nim com três montes de peças, contendo 5, 6 e 7 peças, respectivamente. Para determinar a jogada ideal, podemos converter esses números para o sistema binário: 5 = 101 (binário), 6 = 110 (binário), 7 = 111 (binário).
Para garantir a vitória, o jogador deve deixar os montes em uma situação onde a soma dos valores binários seja zero. Nesse caso, a soma dos valores binários é 101 + 110 + 111 = 1001. Para deixar a soma em zero, o jogador deve remover 1 peça do monte com 7 peças (que no binário é 111).
Ao remover essa peça, o monte fica com 6 peças (110 em binário), e a soma dos valores binários torna-se 101 + 110 + 110 = 000. Assim, o jogador que remover a peça garantirá a vitória.

O Nim como ferramenta pedagógica:
O Nim é um jogo versátil que pode ser utilizado em diferentes contextos pedagógicos:

Ensino de operações básicas:
O jogo pode ser usado para ensinar operações de adição e subtração, especialmente no contexto de contagem de peças.

Introdução ao sistema binário:
O Nim pode ser usado como uma forma lúdica de introduzir o sistema binário, que é fundamental na informática e em diversas áreas da matemática.

Desenvolvimento do raciocínio lógico:
O jogo estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de análise e da tomada de decisões estratégicas, habilidades importantes em diversas áreas do conhecimento.

Aprendizagem por meio da prática:
O Nim permite que os alunos aprendam de forma prática, explorando a lógica e a estratégia do jogo e identificando padrões que os levam à vitória.