As triplas ou ternos pitagóricos

 

Plaqueta de argila cozida babilônica conhecida pelo nome Plimpton 322, atualmente mantida na Biblioteca de Manuscritos e Livros Raros da Universidade de Colúmbia, em Nova Iorque.

Uma tripla ou terno pitagórico consiste de três números inteiros positivos a, b e c que respeitem a seguinte condição:

$$a^2+b^2=c^2$$

O nome tem origem no teorema de Pitágoras, que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros, então os valores desses lados formarão um terno pitagórico, expresso como (a, b, c). Uma tripla pitagórica será dita primitiva se os números a, b e c forem primos entre si. A tripla primitiva mais conhecida entre todas é (3, 4, 5) que, expressa geometricamente, forma a figura abaixo:

Tripla pitagórica primitiva.

Nesta imagem temos um triângulo retângulo de lados iguais a 3, 4 e 5. Os lados deste triângulo são também um dos lados de três quadrados distintos, cada um dos quais possui uma área que representa o quadrado de seus lados. Assim, o lado do triângulo igual a 3 é o lado de um quadrado, cuja área é 9; de modo análogo, o lado do triângulo igual a 4 é o lado de outro quadrado, cuja área é 16; finalmente, o lado do triângulo igual a 5 é o lado de terceiro quadrado, cuja área é 25. Fazendo a = 3, b = 4 e c = 5, temos:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$3^2+4^2=5^2$$

$$9+16=25$$

$$25=25$$

Porém, triângulos retângulos com lados cujos comprimentos não sejam números inteiros não formam um terno pitagórico. É o caso de um triângulo retângulo de lados (1, 1, √2), pois √2 é irracional. Os ternos pitagóricos são conhecidos desde muito antes dos gregos: seu registro mais antigo está inscrito na plaqueta de argila babilônica Plimpton 322, confeccionada provavelmente entre 1.822 e 1.762 a.C. durante o reinado de Hamurabi, que foi o sexto rei da primeira dinastia babilônica. Tendo sido descoberta por volta de 1.900 pelo arqueologista, acadêmico e aventureiro Edgar James Banks, foi vendida por volta de 1.920 ao filantropo George Arthur Plimpton pela bagatela de 10 dólares!

Edgar J. Banks, foto de 1922. Ele serviu de inspiração para criar a personagem Indiana Jones.

Esta plaqueta está segmentada em 15 linhas divididas em 4 colunas, cada uma contendo um cabeçalho; a primeira coluna está parcialmente ilegível em função de danos na peça, mas as demais são claramente legíveis.

Desenho reproduzindo a parte frontal da Plimpton 322.

Contendo um padrão de números composto de ternos pitagóricos, estudos recentes revelam que a Plimpton 322 descreve as formas de triângulos retângulos utilizando um tipo de trigonometria baseada em razões ao invés de ângulos e círculos, tornando-a não apenas a mais antiga tabela trigonométrica como a única totalmente precisa, devido à abordagem peculiar dos babilônios com a aritmética e a geometria, assuntos estes já abordados em capítulos anteriores, tais como A álgebra dos babilônios e dos egípcios, no primeiro capítulo deste volume, em Operações aritméticas com frações, no segundo volume desta série, ou ainda em As origens da raiz quadrada, no terceiro volume. A plaqueta Plimpton 322 foi uma ferramenta poderosa que pode ter sido usada para fazer cálculos arquitetônicos na construção de palácios, templos e zigurates (pirâmides de degraus babilônicos).

Templo de Nanna, zigurate mandado erigir por Ur-Nammu, rei de Ur, atual Iraque.

Apesar da genialidade dos babilônios, coube ao grego Euclides – em sua obra Elementos – apresentar uma fórmula que permite encontrar infinitas triplas trigonométricas. A fórmula é a seguinte:

$$\{\begin{array}{c}a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\end{array}$$

Onde m e n são dois inteiros quaisquer que respeitam as condições abaixo:

$$\{\begin{array}{c}m>n\\ m,n>0\end{array}$$

O terno gerado pela fórmula de Euclides será primitivo se, e somente se, m e n forem primos entre si e ambos não sejam ímpares. Se m e n forem ambos ímpares, então a, b e c serão pares e não formarão uma tripla primitiva.

Uma demonstração possível toma como ponto de partida o teorema de Pitágoras:

$$a^2+b^2=c^2$$

Passando o termo a para o lado direito da igualdade, vem:

$$b^2=c^2-a^2$$

A nova expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

$$b\cdot b=(c+a)(c-a)$$

Rearranjando, fica:

$$\frac{b}{(c-a)}=\frac{(c+a)}{b}$$

Como ambas as frações são racionais, podemos igualá-las a uma terceira fração racional, assim representada:

$$\frac{b}{(c-a)}=\frac{(c+a)}{b}=\frac{m}{n}$$

Trabalhando com as frações duas a duas, obtemos as equações:

$$\{\begin{array}{c}\frac{b}{(c-a)}=\frac{m}{n}\\ \frac{(c+a)}{b}=\frac{m}{n}\end{array}$$

Trabalhando com a primeira equação, vem:

$$\frac{b}{(c-a)}=\frac{m}{n}\Rightarrow \frac{(c-a)}{b}=\frac{n}{m}$$

Rearranjando:

$$\frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$$

[1]

Operando agora com a segunda equação:

$$\frac{(c+a)}{b}=\frac{m}{n}$$

Rearranjando:

$$\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

[2]

Isolando a fração c/b na equação [1], tem-se:

$$\frac{c}{b}=\frac{n}{m}+\frac{a}{b}$$

Substituindo este resultado na equação [2], obtemos:

$$\frac{n}{m}+\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

Desenvolvendo:

$$\frac{n}{m}+2\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$

$$2\frac{a}{b}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}$$

$$2\frac{a}{b}=\frac{m^2-n^2}{nm}$$

$$\frac{a}{b}=\frac{m^2-n^2}{2nm}$$

[3]

Comparando os numeradores e os denominadores de ambas as frações da expressão [3] podemos constatar que:

$$\{\begin{array}{c}a=m^2-n^2\\ b=2nm\end{array}$$

Isolando agora a fração a/b na equação [2], temos:

$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}-\frac{c}{b}$$

Substituindo este resultado na equação [1], obtém-se:

$$\frac{c}{b}-(\frac{m}{n}-\frac{c}{b})=\frac{n}{m}$$

Desenvolvendo:

$$\frac{c}{b}-\frac{m}{n}+\frac{c}{b}=\frac{n}{m}$$

$$2\frac{c}{b}=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$$

$$2\frac{c}{b}=\frac{n^2+m^2}{mn}$$

$$\frac{c}{b}=\frac{n^2+m^2}{2mn}$$

[4]

Comparando os numeradores e os denominadores de ambas as frações da expressão [4] podemos constatar que:

$$\{\begin{array}{c}c=n^2+m^2\\ b=2mn\end{array}$$

Como a ordem dos fatores abaixo não altera a soma:

$$n^2+m^2=m^2+n^2$$

Nem altera o produto:

$$2nm=2mn$$

Chega-se, enfim, à fórmula inicial de Euclides que fornece a geração das triplas pitagóricas a partir das expressões [3] e [4]:

$$\{\begin{array}{c}a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\end{array}$$

Representação gráfica dos ternos pitagóricos com c < 4500. A abcissa corresponde aos números a e a ordenada corresponde aos números b. A distância entre o par ordenado (a, b) e a origem corresponde aos números c. Observe o padrão parabólico obtido com essas triplas.

Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Referências bibliográficas:

[1]	Mansfield, D. F.; Wildberger, N. J. “Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal, trigonometry”, Historia Mathematica, 2017.
[2]	Joyce, D. E. “A Quick Trip through the Elements”, Department of Mathematics and Computer Science - Clark University, 2002. Site visitado em Nov/2017 (https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/trip.html).